Номер 32.28, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.28. Решите уравнение $\sin 2x + 5(\sin x + \cos x) = 0.$

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Чтобы выразить $\sin(2x)$ через $t$, возведем в квадрат обе части равенства $t = \sin x + \cos x$:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получим:

$t^2 = 1 + \sin(2x)$

Отсюда следует, что $\sin(2x) = t^2 - 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) + 5t = 0$

$t^2 + 5t - 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29$

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2}$

Далее необходимо проверить, какие значения может принимать переменная $t$. Преобразуем выражение $t = \sin x + \cos x$ с помощью метода вспомогательного угла:

$t = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Поскольку область значений синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то область значений для $t$ - это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни $t_1$ и $t_2$ этому отрезку. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $5 < \sqrt{29} < 6$, то:

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{-5 + 5.39}{2} = 0.195$. Это значение входит в отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{-5 - 5.39}{2} = -5.195$. Это значение не входит в отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Таким образом, корень $t_2$ является посторонним. Выполним обратную замену для $t_1$:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.