Номер 32.25, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.25. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-\cos 2x} = -\sqrt{2} \cos x$;

2) $\sqrt{2-3\cos 2x} = \sqrt{\sin x}$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{-\cos(2x)} = -\sqrt{2}\cos(x)$.

Уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A = B^2 \end{cases}$. В данном случае также должно выполняться условие $A \ge 0$, но оно автоматически следует из второго уравнения системы, так как $A$ приравнивается к квадрату выражения $B$.

Запишем систему для нашего уравнения:

$\begin{cases} -\sqrt{2}\cos x \ge 0 \\ -\cos(2x) = (-\sqrt{2}\cos x)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем условие: $\cos x \le 0$. Это означает, что $x$ должен находиться во II или III координатной четверти (включая границы).

Решим второе уравнение системы:

$-\cos(2x) = 2\cos^2 x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

$-(2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$

$-2\cos^2 x + 1 = 2\cos^2 x$

$4\cos^2 x = 1$

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$.

С учетом условия $\cos x \le 0$, выбираем только корень $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Эти значения $x$ соответствуют углам во II и III четвертях, поэтому условие $\cos x \le 0$ выполнено. Проверим также неявное условие ОДЗ: $-\cos(2x) \ge 0$. Подставим найденное значение $\cos^2 x = 1/4$ в выражение для $\cos(2x)$: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{1}{4}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. Так как $\cos(2x) = -1/2$, то $-\cos(2x) = 1/2 \ge 0$, и ОДЗ выполняется.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{2 - 3\cos(2x)} = \sqrt{\sin x}$.

Уравнение вида $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} A = B \\ A \ge 0 \end{cases}$ (или $B \ge 0$, что в данном случае проще).

Запишем систему для нашего уравнения:

$\begin{cases} 2 - 3\cos(2x) = \sin x \\ \sin x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Для этого выразим $\cos(2x)$ через $\sin x$ по формуле $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$:

$2 - 3(1 - 2\sin^2 x) = \sin x$

$2 - 3 + 6\sin^2 x = \sin x$

$6\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид:

$6t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Оба значения входят в область допустимых значений для синуса $[-1, 1]$. Возвращаемся к исходной переменной:

$\sin x = -\frac{1}{3}$ или $\sin x = \frac{1}{2}$.

Теперь применим условие из системы: $\sin x \ge 0$.

Корень $\sin x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Остается решить уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Его решения можно записать в виде $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют условию $\sin x \ge 0$, а значит, и ОДЗ исходного уравнения.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.