Номер 32.23, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.23. Решите уравнение:

1) $3\cos x + 3\sin x + \sin 3x - \cos 3x = 0;$

2) $\cos 4x = \cos^2 3x;$

3) $\sin^3 x \sin 3x + \cos^3 x \cos 3x = \cos^3 4x.$

1) $3\cos x + 3\sin x + \sin 3x - \cos 3x = 0$

Решение:

Сгруппируем слагаемые в исходном уравнении:

$(3\cos x - \cos 3x) + (3\sin x + \sin 3x) = 0$

Воспользуемся формулами тройного угла: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ и $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. Подставим их в уравнение:

$(3\cos x - (4\cos^3 x - 3\cos x)) + (3\sin x + (3\sin x - 4\sin^3 x)) = 0$

$(6\cos x - 4\cos^3 x) + (6\sin x - 4\sin^3 x) = 0$

Разделим уравнение на 2 и сгруппируем слагаемые по-другому:

$3(\cos x + \sin x) - 2(\cos^3 x + \sin^3 x) = 0$

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$3(\cos x + \sin x) - 2(\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получим:

$3(\cos x + \sin x) - 2(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ за скобки:

$(\cos x + \sin x) [3 - 2(1 - \cos x \sin x)] = 0$

$(\cos x + \sin x) (3 - 2 + 2\cos x \sin x) = 0$

$(\cos x + \sin x) (1 + 2\cos x \sin x) = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$(\cos x + \sin x) (1 + \sin 2x) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x + \sin x = 0$. Разделив на $\cos x \neq 0$, получим $\tan x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $1 + \sin 2x = 0$. Отсюда $\sin 2x = -1$, что дает $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, и $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Оба случая приводят к одному и тому же множеству решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 4x = \cos^2 3x$

Решение:

Применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ к правой части уравнения:

$\cos 4x = \frac{1+\cos(2 \cdot 3x)}{2}$

$2\cos 4x = 1+\cos 6x$

$2\cos 4x - \cos 6x - 1 = 0$

Сделаем замену $y=2x$. Уравнение примет вид:

$2\cos(2y) - \cos(3y) - 1 = 0$

Используем формулы косинуса двойного и тройного углов: $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$ и $\cos 3y = 4\cos^3 y - 3\cos y$.

$2(2\cos^2 y - 1) - (4\cos^3 y - 3\cos y) - 1 = 0$

$4\cos^2 y - 2 - 4\cos^3 y + 3\cos y - 1 = 0$

$-4\cos^3 y + 4\cos^2 y + 3\cos y - 3 = 0$

$4\cos^3 y - 4\cos^2 y - 3\cos y + 3 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$4\cos^2 y (\cos y - 1) - 3(\cos y - 1) = 0$

$(\cos y - 1)(4\cos^2 y - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Вернемся к переменной $x$, помня, что $y=2x$:

1. $\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = 1$. Отсюда $2x = 2\pi k$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $4\cos^2 2x - 3 = 0 \implies \cos^2 2x = \frac{3}{4}$. Снова применим формулу понижения степени: $\frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{3}{4}$. Отсюда $1+\cos 4x = \frac{3}{2}$, $\cos 4x = \frac{1}{2}$. Решением этого уравнения является $4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, то есть $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin^3 x \sin 3x + \cos^3 x \cos 3x = \cos^3 4x$

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ и $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$:

$\sin^3 x (3\sin x - 4\sin^3 x) + \cos^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x)$

$= 3\sin^4 x - 4\sin^6 x + 4\cos^6 x - 3\cos^4 x$

$= 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x)$

Упростим выражения в скобках:

$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x$.

$\cos^6 x - \sin^6 x = (\cos^2 x)^3 - (\sin^2 x)^3 = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) = \cos 2x((\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x) = \cos 2x(1 - \frac{\sin^2 2x}{4})$.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$4\cos 2x(1 - \frac{\sin^2 2x}{4}) - 3\cos 2x = 4\cos 2x - \cos 2x \sin^2 2x - 3\cos 2x$

$= \cos 2x - \cos 2x \sin^2 2x = \cos 2x(1 - \sin^2 2x) = \cos 2x \cdot \cos^2 2x = \cos^3 2x$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к виду:

$\cos^3 2x = \cos^3 4x$

Поскольку функция $y=t^3$ является строго возрастающей, равенство кубов аргументов влечет за собой равенство самих аргументов:

$\cos 2x = \cos 4x$

$\cos 4x - \cos 2x = 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin\frac{4x+2x}{2}\sin\frac{4x-2x}{2} = 0$

$-2\sin 3x \sin x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Первое множество решений является подмножеством второго (при $n=3k$), следовательно, все решения описываются второй формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.