Номер 32.24, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.24. Решите уравнение:

1) $\sin^3 x + \sin 3x = \frac{3\sqrt{3}}{4}\sin 2x$;

2) $\cos 6x + 8\cos 2x - 4\cos 4x - 5 = 0.$

1) $sin^3x + sin3x = \frac{3\sqrt{3}}{4}sin2x$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса тройного угла $sin3x = 3sinx - 4sin^3x$. Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$sin^3x + (3sinx - 4sin^3x) = 3sinx - 3sin^3x$

Вынесем общий множитель $3sinx$ за скобки:

$3sinx(1 - sin^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем $1 - sin^2x = cos^2x$. Таким образом, левая часть уравнения равна:

$3sinx \cdot cos^2x$

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$\frac{3\sqrt{3}}{4}sin2x = \frac{3\sqrt{3}}{4}(2sinxcosx) = \frac{3\sqrt{3}}{2}sinxcosx$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части уравнения:

$3sinxcos^2x = \frac{3\sqrt{3}}{2}sinxcosx$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$3sinxcos^2x - \frac{3\sqrt{3}}{2}sinxcosx = 0$

$3sinxcosx(cosx - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности трех уравнений:

1. $sinx = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

3. $cosx - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies cosx = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Первые две серии решений ($x = \pi n$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) можно объединить в одну общую серию $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $cos6x + 8cos2x - 4cos4x - 5 = 0$

Сведем все тригонометрические функции к одному аргументу $2x$. Для этого воспользуемся формулами косинуса двойного и тройного углов:

$cos4x = cos(2 \cdot 2x) = 2cos^2(2x) - 1$

$cos6x = cos(3 \cdot 2x) = 4cos^3(2x) - 3cos(2x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(4cos^3(2x) - 3cos(2x)) + 8cos(2x) - 4(2cos^2(2x) - 1) - 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4cos^3(2x) - 3cos(2x) + 8cos(2x) - 8cos^2(2x) + 4 - 5 = 0$

$4cos^3(2x) - 8cos^2(2x) + 5cos(2x) - 1 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $y = cos2x$, где $|y| \le 1$. Уравнение примет вид:

$4y^3 - 8y^2 + 5y - 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни подбором среди делителей свободного члена, деленных на делители старшего коэффициента. Проверим $y=1$:

$4(1)^3 - 8(1)^2 + 5(1) - 1 = 4 - 8 + 5 - 1 = 0$. Значит, $y=1$ является корнем.

Разделим многочлен $4y^3 - 8y^2 + 5y - 1$ на $(y-1)$ столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получим квадратный трехчлен $4y^2 - 4y + 1$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(y-1)(4y^2 - 4y + 1) = 0$

Выражение во второй скобке является полным квадратом: $4y^2 - 4y + 1 = (2y-1)^2$.

$(y-1)(2y-1)^2 = 0$

Отсюда находим корни для $y$:

1. $y - 1 = 0 \implies y = 1$

2. $(2y - 1)^2 = 0 \implies 2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|y| \le 1$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $cos2x = 1 \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $cos2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.