Номер 32.31, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.31. При каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит ровно три корня уравнения:

1) $2 \sin^2 x - \sin x = 0$;

2) $2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x = 0?$

1)

Сначала решим уравнение $2\sin^2x - \sin x = 0$.

Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin x - 1) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin x - 1 = 0$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$, откуда получаем серию корней $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти такие положительные значения параметра $a$, чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно три корня. Для этого найдем все неотрицательные корни уравнения и расположим их в порядке возрастания.

Неотрицательные корни из серии $x = \pi k$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$

Неотрицательные корни из серии $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$: $\frac{\pi}{6}$ (при n=0), $\frac{5\pi}{6}$ (при n=1), $\frac{13\pi}{6}$ (при n=2), и так далее.

Объединим обе серии корней и упорядочим их по возрастанию:

$x_1 = 0$

$x_2 = \frac{\pi}{6}$

$x_3 = \frac{5\pi}{6}$

$x_4 = \pi$

$x_5 = 2\pi$

...и так далее.

Промежуток $[0; a]$ должен содержать ровно три корня. Это должны быть первые три неотрицательных корня: $x_1=0$, $x_2=\frac{\pi}{6}$ и $x_3=\frac{5\pi}{6}$.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал эти три корня, его правая граница $a$ должна быть не меньше, чем третий корень: $a \ge \frac{5\pi}{6}$.

В то же время, чтобы в промежуток не попал четвертый корень $x_4=\pi$, правая граница $a$ должна быть строго меньше него: $a < \pi$.

Объединяя эти два условия, получаем: $\frac{5\pi}{6} \le a < \pi$.

Ответ: $a \in [\frac{5\pi}{6}; \pi)$.

2)

Сначала решим уравнение $2\cos^2x - \sqrt{3}\cos x = 0$.

Вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x - \sqrt{3} = 0$, то есть $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда получаем серию корней $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти такие положительные значения параметра $a$, чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно три корня. Для этого найдем все неотрицательные корни уравнения и расположим их в порядке возрастания.

Неотрицательные корни из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$

Неотрицательные корни из серии $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: $\frac{\pi}{6}$ (при n=0), $\frac{11\pi}{6}$ (при n=1), $\frac{13\pi}{6}$ (при n=1), и так далее.

Объединим обе серии корней и упорядочим их по возрастанию:

$x_1 = \frac{\pi}{6}$

$x_2 = \frac{\pi}{2}$

$x_3 = \frac{3\pi}{2}$

$x_4 = \frac{11\pi}{6}$

$x_5 = \frac{13\pi}{6}$

...и так далее.

Промежуток $[0; a]$ должен содержать ровно три корня. Это должны быть первые три неотрицательных корня: $x_1=\frac{\pi}{6}$, $x_2=\frac{\pi}{2}$ и $x_3=\frac{3\pi}{2}$.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал эти три корня, его правая граница $a$ должна быть не меньше, чем третий корень: $a \ge \frac{3\pi}{2}$.

В то же время, чтобы в промежуток не попал четвертый корень $x_4=\frac{11\pi}{6}$, правая граница $a$ должна быть строго меньше него: $a < \frac{11\pi}{6}$.

Объединяя эти два условия, получаем: $\frac{3\pi}{2} \le a < \frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $a \in [\frac{3\pi}{2}; \frac{11\pi}{6})$.