Номер 32.27, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.27. Решите уравнение

$2\sin 2x = 3(\sin x + \cos x)$

Дано уравнение $2\sin2x = 3(\sin x + \cos x)$.

Для решения используем формулу синуса двойного угла: $\sin2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим ее в исходное уравнение:

$2(2\sin x \cos x) = 3(\sin x + \cos x)$

$4\sin x \cos x = 3(\sin x + \cos x)$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Чтобы выразить произведение $\sin x \cos x$ через $t$, возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

Отсюда выражаем $2\sin x \cos x = t^2 - 1$, а значит $4\sin x \cos x = 2(t^2 - 1)$.

Теперь подставим выражения с $t$ в преобразованное уравнение:

$2(t^2 - 1) = 3t$

Получили квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Вспомним, что $t = \sin x + \cos x$.

Найдем множество значений выражения $\sin x + \cos x$, используя метод вспомогательного угла:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то $-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.

Следовательно, $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Проверим наши корни $t_1$ и $t_2$:

1. $t_1 = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > \sqrt{2}$ (поскольку $4 > 2$). Уравнение $\sin x + \cos x = 2$ не имеет решений.

2. $t_2 = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит, так как $-\sqrt{2} \le -\frac{1}{2} \le \sqrt{2}$.

Решаем уравнение:

$\sin x + \cos x = -\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Общее решение для уравнения $\sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, то:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \left(-\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) + \pi n$

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$

Окончательно находим $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.