Номер 32.21, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.21. Решите уравнение:

1) $\cos 3x + 2\cos x = 0$;

2) $\sin 6x + 2 = 2\cos 4x$.

1) $ \cos{3x} + 2\cos{x} = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $ \cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha} $.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$ (4\cos^3{x} - 3\cos{x}) + 2\cos{x} = 0 $

Упростим выражение:

$ 4\cos^3{x} - \cos{x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos{x} $ за скобки:

$ \cos{x}(4\cos^2{x} - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1. $ \cos{x} = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 4\cos^2{x} - 1 = 0 $

$ 4\cos^2{x} = 1 $

$ \cos^2{x} = \frac{1}{4} $

$ \cos{x} = \pm\frac{1}{2} $

Это уравнение, в свою очередь, дает две серии решений:

а) $ \cos{x} = \frac{1}{2} $, откуда $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos{x} = -\frac{1}{2} $, откуда $ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Объединяя все найденные серии корней, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin{6x} + 2 = 2\cos{4x} $

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$ \sin{6x} = 2\cos{4x} - 2 $

Вынесем 2 за скобки в правой части:

$ \sin{6x} = 2(\cos{4x} - 1) $

Воспользуемся формулой $ 1 - \cos{2\alpha} = 2\sin^2{\alpha} $. Из нее следует, что $ \cos{4x} - 1 = -2\sin^2{2x} $. Подставим это в уравнение:

$ \sin{6x} = 2(-2\sin^2{2x}) $

$ \sin{6x} = -4\sin^2{2x} $

Теперь применим формулу синуса тройного угла $ \sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha} $ для левой части, положив $ \alpha = 2x $:

$ 3\sin{2x} - 4\sin^3{2x} = -4\sin^2{2x} $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4\sin^3{2x} - 4\sin^2{2x} - 3\sin{2x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{2x} $ за скобки:

$ \sin{2x}(4\sin^2{2x} - 4\sin{2x} - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $ \sin{2x} = 0 $

Отсюда $ 2x = \pi n $, и $ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 4\sin^2{2x} - 4\sin{2x} - 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin{2x} $, где $ |t| \le 1 $. Уравнение примет вид:

$ 4t^2 - 4t - 3 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $.

Корни уравнения: $ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 8}{8} $.

$ t_1 = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} $

Вернемся к замене. Корень $ t_1 = \frac{3}{2} $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, так как $ \frac{3}{2} > 1 $, поэтому он является посторонним.

Остается решить уравнение $ \sin{2x} = t_2 = -\frac{1}{2} $.

$ 2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ 2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяем все полученные решения.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.