Номер 32.15, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.15. Решите уравнение:

1) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4};$

2) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin^4 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0,5.$

1) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени. Сначала преобразуем $\sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$

Тогда для четвертой степени получаем:

$\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 = \left(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}$

Используя еще раз формулу понижения степени для $\cos^2(2\alpha) = \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}$, получаем:

$\sin^4\alpha = \frac{1}{4} \left(1 - 2\cos(2\alpha) + \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}\right) = \frac{1}{8} (2 - 4\cos(2\alpha) + 1 + \cos(4\alpha)) = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))$

Применим эту формулу к обоим слагаемым в исходном уравнении.

Для первого слагаемого, $\sin^4 x$:

$\sin^4 x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))$

Для второго слагаемого, $\sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$:

Аргумент $\alpha = x+\frac{\pi}{4}$. Тогда $2\alpha = 2x+\frac{\pi}{2}$ и $4\alpha = 4x+\pi$.

$\cos(2\alpha) = \cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin(2x)$

$\cos(4\alpha) = \cos(4x+\pi) = -\cos(4x)$

Подставляя это в формулу, получаем:

$\sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{8} (3 - 4(-\sin(2x)) + (-\cos(4x))) = \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x))$

Теперь подставим оба выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 8:

$(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) = 2$

$6 + 4\sin(2x) - 4\cos(2x) = 2$

$4\sin(2x) - 4\cos(2x) = -4$

$\sin(2x) - \cos(2x) = -1$

Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для применения метода вспомогательного угла:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на два семейства решений:

1) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2x - \frac{\pi}{4} = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = \frac{6\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) + \sin^4 \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 0,5$

Как и в предыдущем пункте, используем формулу $\sin^4\alpha = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))$.

Мы уже нашли выражения для первых двух слагаемых:

$\sin^4 x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))$

$\sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x))$

Теперь найдем выражение для третьего слагаемого, $\sin^4 \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$:

Аргумент $\alpha = x-\frac{\pi}{4}$. Тогда $2\alpha = 2x-\frac{\pi}{2}$ и $4\alpha = 4x-\pi$.

$\cos(2\alpha) = \cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(2x)$

$\cos(4\alpha) = \cos(4x-\pi) = -\cos(4x)$

Подставляя это в формулу, получаем:

$\sin^4 \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{8} (3 - 4\sin(2x) - \cos(4x))$

Сложим все три выражения и приравняем к 0,5 (то есть к $\frac{1}{2}$):

$\frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) + \frac{1}{8} (3 - 4\sin(2x) - \cos(4x)) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 8:

$(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) + (3 - 4\sin(2x) - \cos(4x)) = 4$

Сокращаем подобные члены ($4\sin(2x)$ и $-4\sin(2x)$, $\cos(4x)$ и $-\cos(4x)$):

$3+3+3 - 4\cos(2x) - \cos(4x) = 4$

$9 - 4\cos(2x) - \cos(4x) = 4$

$5 - 4\cos(2x) - \cos(4x) = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

$5 - 4\cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) = 0$

$5 - 4\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 = 0$

$-2\cos^2(2x) - 4\cos(2x) + 6 = 0$

Разделим на -2:

$\cos^2(2x) + 2\cos(2x) - 3 = 0$

Сделаем замену $y = \cos(2x)$. Получим квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos(2x) = -3$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.

2) $\cos(2x) = 1$.

$2x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.