Номер 32.8, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.8. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2\sin 2x = 0;$

2) $2\cos^2 x + \sin 2x - 2 = 0.$

Дано уравнение: $ \sin^2x + 3\cos^2x - 2\sin2x = 0 $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin2x = 2\sin x \cos x $.

Подставим её в исходное уравнение:
$ \sin^2x + 3\cos^2x - 2(2\sin x \cos x) = 0 $
$ \sin^2x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0 $

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2x = 1 $. Подставляя эти значения в уравнение, получаем $ 1 - 0 + 0 = 0 $, что является неверным равенством. Значит, $ \cos x \ne 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2x $.

$ \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0 $
$ \tan^2x - 4\tan x + 3 = 0 $

Сделаем замену переменной $ t = \tan x $. Уравнение примет вид:
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 3 $.

Выполним обратную замену:
1. $ \tan x = 1 $
$ x = \arctan(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

2. $ \tan x = 3 $
$ x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение: $ 2\cos^2x + \sin2x - 2 = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $ и представим $ -2 $ как $ -2 \cdot 1 = -2(\sin^2x + \cos^2x) $.

Подставим эти выражения в уравнение:
$ 2\cos^2x + 2\sin x \cos x - 2(\sin^2x + \cos^2x) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 2\cos^2x + 2\sin x \cos x - 2\sin^2x - 2\cos^2x = 0 $
$ 2\sin x \cos x - 2\sin^2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\sin x $ за скобки:
$ 2\sin x (\cos x - \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ 2\sin x = 0 $
$ \sin x = 0 $
$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos x - \sin x = 0 $
$ \cos x = \sin x $
Заметим, что $ \cos x \ne 0 $, иначе $ \sin x $ также был бы равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому можно разделить обе части на $ \cos x $:
$ 1 = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \tan x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.