Номер 32.10, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.10. Решите уравнение:

1) $4\operatorname{ctg} x - 5\sin x = 0;$

2) $4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\sin^2 x = 6;$

3) $7 + 2\sin 2x + 1,5(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x) = 0;$

4) $2\cos 4x - 2\cos^2 x = 3\cos 2x.$

1) $4\text{ctg} x - 5\sin x = 0$

Запишем уравнение, используя определение котангенса: $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$, следовательно $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$4\frac{\cos x}{\sin x} - 5\sin x = 0$
Умножим обе части уравнения на $\sin x$ (с учетом ОДЗ):
$4\cos x - 5\sin^2 x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$4\cos x - 5(1 - \cos^2 x) = 0$
$4\cos x - 5 + 5\cos^2 x = 0$
$5\cos^2 x + 4\cos x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$5t^2 + 4t - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 16 + 100 = 116$.
$t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{5}$.
$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{29}}{5}$. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$, то $3 < -2 + \sqrt{29} < 4$, и $\frac{3}{5} < \frac{-2 + \sqrt{29}}{5} < \frac{4}{5}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{29}}{5}$. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$, то $-8 < -2 - \sqrt{29} < -7$, и $-\frac{8}{5} < \frac{-2 - \sqrt{29}}{5} < -\frac{7}{5}$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos x = \frac{\sqrt{29}-2}{5}$.
Это значение не равно $1$ или $-1$, поэтому условие ОДЗ ($\sin x \neq 0$) выполняется.
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\sin^2 x = 6$

Приведем все функции к одному аргументу $2x$. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.
$4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = 6$
$4\sin^2 2x + 7\cos 2x - (1 - \cos 2x) = 6$
$4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 1 + \cos 2x = 6$
$4\sin^2 2x + 8\cos 2x - 7 = 0$
Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$:
$4(1 - \cos^2 2x) + 8\cos 2x - 7 = 0$
$4 - 4\cos^2 2x + 8\cos 2x - 7 = 0$
$-4\cos^2 2x + 8\cos 2x - 3 = 0$
$4\cos^2 2x - 8\cos 2x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 8t + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.
$t_{1} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_{2} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $7 + 2\sin 2x + 1,5(\text{tg} x + \text{ctg} x) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно $\sin 2x \neq 0$.
Преобразуем выражение в скобках:
$\text{tg} x + \text{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$7 + 2\sin 2x + 1,5 \cdot \frac{2}{\sin 2x} = 0$
$7 + 2\sin 2x + \frac{3}{\sin 2x} = 0$

Сделаем замену $t = \sin 2x$. С учетом ОДЗ, $t \neq 0$ и $|t| \le 1$.
$7 + 2t + \frac{3}{t} = 0$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$7t + 2t^2 + 3 = 0$
$2t^2 + 7t + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условиям $t \neq 0$ и $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\sin 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $2 \cos 4x - 2\cos^2 x = 3\cos 2x$

Приведем все функции к одному аргументу $2x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ и формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$2(2\cos^2 2x - 1) - 2\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 3\cos 2x$
$4\cos^2 2x - 2 - (1 + \cos 2x) = 3\cos 2x$
$4\cos^2 2x - 2 - 1 - \cos 2x = 3\cos 2x$
$4\cos^2 2x - 3 - \cos 2x - 3\cos 2x = 0$
$4\cos^2 2x - 4\cos 2x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 4t - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.