Страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.6. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x - y = \frac{2\pi}{3}, \\ \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} y = -2\sqrt{3}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ \operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y = 1. \end{cases} $

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = \frac{2\pi}{3}, \\ \text{tg} \, x - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3}. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любых $k, n \in \mathbb{Z}$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + \frac{2\pi}{3}$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$ \text{tg} \left( y + \frac{2\pi}{3} \right) - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$ Используем формулу тангенса суммы: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg} \, \beta}{1 - \text{tg} \, \alpha \text{tg} \, \beta}$. Зная, что $\text{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$, получаем: $$ \frac{\text{tg} \, y + \text{tg} \frac{2\pi}{3}}{1 - \text{tg} \, y \cdot \text{tg} \frac{2\pi}{3}} - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$ $$ \frac{\text{tg} \, y - \sqrt{3}}{1 - \text{tg} \, y \cdot (-\sqrt{3})} - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$ $$ \frac{\text{tg} \, y - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}\text{tg} \, y} - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$

Сделаем замену $t = \text{tg} \, y$. Уравнение примет вид: $$ \frac{t - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}t} - t = -2\sqrt{3} $$ При условии $1 + \sqrt{3}t \neq 0$, умножим обе части на знаменатель: $$ t - \sqrt{3} - t(1 + \sqrt{3}t) = -2\sqrt{3}(1 + \sqrt{3}t) $$ $$ t - \sqrt{3} - t - \sqrt{3}t^2 = -2\sqrt{3} - 6t $$ $$ -\sqrt{3} - \sqrt{3}t^2 = -2\sqrt{3} - 6t $$ Перенесем все члены в левую часть: $$ \sqrt{3}t^2 - 6t - \sqrt{3} = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 36 + 12 = 48 $$ Корни уравнения: $$ t = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2\sqrt{3}} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \pm 2 $$ Получаем два значения для $t$: $t_1 = \sqrt{3} + 2$ и $t_2 = \sqrt{3} - 2$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\text{tg} \, y = \sqrt{3} + 2 = 2 + \sqrt{3}$.
Этому значению тангенса соответствует угол $y = \text{arctg}(2+\sqrt{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $x = y + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{5\pi + 8\pi}{12} + \pi n = \frac{13\pi}{12} + \pi n$.
Получаем первую серию решений: $(\frac{13\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\text{tg} \, y = \sqrt{3} - 2$.
Этому значению тангенса соответствует угол $y = \text{arctg}(\sqrt{3}-2) + \pi n = -\frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $x = y + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{-\pi + 8\pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n$.
Получаем вторую серию решений: $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, -\frac{\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{13\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n), (\frac{7\pi}{12} + \pi n, -\frac{\pi}{12} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ \text{ctg} \, x \cdot \text{ctg} \, y = 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ и $y \neq \pi n$ для любых $k, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем второе уравнение. При условии, что $\text{ctg} \, y \neq 0$ (что следует из ОДЗ), можно записать: $$ \text{ctg} \, x = \frac{1}{\text{ctg} \, y} = \text{tg} \, y $$ Запишем котангенс и тангенс через синус и косинус: $$ \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin y}{\cos y} $$ Умножим обе части на $\sin x \cos y$ (с учетом ОДЗ, эти множители не равны нулю): $$ \cos x \cos y = \sin x \sin y $$ $$ \cos x \cos y - \sin x \sin y = 0 $$ Это формула косинуса суммы: $$ \cos(x+y) = 0 $$ Отсюда получаем, что $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n. \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$: $$ (x-y) + (x+y) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n $$ $$ 2x = \frac{\pi + 3\pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n $$ $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $y$: $$ (x+y) - (x-y) = \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) - \frac{\pi}{6} $$ $$ 2y = \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n $$ $$ y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} $$ Полученные решения удовлетворяют ОДЗ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

32.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 0,5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0;$

2) $5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2;$

3) $3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3;$

4) $3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1.$

1)

Исходное уравнение: $ \sin^2 x + 0,5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ \sin^2 x + 0,5(2\sin x \cos x) - 2\cos^2 x = 0 $

$ \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 1 + 0 - 0 = 0 $, что неверно. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Уравнение принимает вид:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -2 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Исходное уравнение: $ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $.

$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $

$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ (5\cos^2 x - 2\cos^2 x) + (-3\sin^2 x - 2\sin^2 x) - 2\sin x \cos x = 0 $

$ 3\cos^2 x - 5\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $

Умножим на -1 для удобства и переупорядочим слагаемые:

$ 5\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 $

Это однородное уравнение. Проверим, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение принимает вид $ 5(1) + 0 - 0 = 0 $, что неверно. Значит, можно разделить уравнение на $ \cos^2 x $:

$ 5\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 5\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $:

$ 5t^2 + 2t - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $.

$ t = \frac{-2 \pm 8}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 8}{10} $

$ t_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $

$ t_2 = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 $

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = \frac{3}{5} \implies x = \arctan(\frac{3}{5}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, \arctan(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3)

Исходное уравнение: $ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $:

$ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $

$ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ (3\sin^2 x - 3\sin^2 x) + \sin x \cos x + (4\cos^2 x - 3\cos^2 x) = 0 $

$ \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sin x + \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x $. Разделим обе части на $ \cos x $ (мы можем это сделать, так как если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x $ должен быть равен 0, что невозможно). Получаем $ \tan x = -1 $.

$ x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4)

Исходное уравнение: $ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $:

$ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 3\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0 $

$ 3\sin x \cos x - \sin^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (3\cos x - \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 3\cos x - \sin x = 0 \implies 3\cos x = \sin x $. Разделим обе части на $ \cos x $ (если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x = 0 $, что невозможно). Получаем $ \tan x = 3 $.

$ x = \arctan(3) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi n, \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

32.8. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2\sin 2x = 0;$

2) $2\cos^2 x + \sin 2x - 2 = 0.$

Дано уравнение: $ \sin^2x + 3\cos^2x - 2\sin2x = 0 $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin2x = 2\sin x \cos x $.

Подставим её в исходное уравнение:
$ \sin^2x + 3\cos^2x - 2(2\sin x \cos x) = 0 $
$ \sin^2x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0 $

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2x = 1 $. Подставляя эти значения в уравнение, получаем $ 1 - 0 + 0 = 0 $, что является неверным равенством. Значит, $ \cos x \ne 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2x $.

$ \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0 $
$ \tan^2x - 4\tan x + 3 = 0 $

Сделаем замену переменной $ t = \tan x $. Уравнение примет вид:
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 3 $.

Выполним обратную замену:
1. $ \tan x = 1 $
$ x = \arctan(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

2. $ \tan x = 3 $
$ x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение: $ 2\cos^2x + \sin2x - 2 = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $ и представим $ -2 $ как $ -2 \cdot 1 = -2(\sin^2x + \cos^2x) $.

Подставим эти выражения в уравнение:
$ 2\cos^2x + 2\sin x \cos x - 2(\sin^2x + \cos^2x) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 2\cos^2x + 2\sin x \cos x - 2\sin^2x - 2\cos^2x = 0 $
$ 2\sin x \cos x - 2\sin^2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\sin x $ за скобки:
$ 2\sin x (\cos x - \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ 2\sin x = 0 $
$ \sin x = 0 $
$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos x - \sin x = 0 $
$ \cos x = \sin x $
Заметим, что $ \cos x \ne 0 $, иначе $ \sin x $ также был бы равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому можно разделить обе части на $ \cos x $:
$ 1 = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \tan x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

32.9. Решите уравнение:

1) $4\cos x \sin x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$;

2) $3\cos x + 2\operatorname{tg} x = 0$;

3) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x$;

4) $\cos 2x - 9\cos x + 6 = 4\sin^2 \frac{x}{2}$.

1) $4\cos x \sin x = \text{tg } x + \text{ctg } x$
Преобразуем обе части уравнения, используя тригонометрические тождества.
Левая часть: $4\cos x \sin x = 2(2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.
Правая часть: $\text{tg } x + \text{ctg } x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $\sin(2x) \neq 0$.
Получаем уравнение:
$2\sin(2x) = \frac{2}{\sin(2x)}$
$\sin^2(2x) = 1$
$\sin(2x) = \pm 1$
Это частный случай, решение которого:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$
Данное решение удовлетворяет ОДЗ, так как при этих значениях $x$, $\sin(2x) \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x + 2\text{tg } x = 0$
ОДЗ: $\cos x \neq 0$.
Заменим $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$3\cos x + 2\frac{\sin x}{\cos x} = 0$
Умножим обе части на $\cos x \neq 0$:
$3\cos^2 x + 2\sin x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$3(1 - \sin^2 x) + 2\sin x = 0$
$3 - 3\sin^2 x + 2\sin x = 0$
$3\sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$3t^2 - 2t - 3 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$
$t = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9}=3$, то $1+\sqrt{10} > 4$, и $t_1 > \frac{4}{3} > 1$. Этот корень не подходит.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$. Так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $-3 < 1-\sqrt{10} < -2$, и $-1 < t_2 < -\frac{2}{3}$. Этот корень подходит.
Возвращаемся к замене:
$\sin x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x$
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$, то $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)$.
Уравнение принимает вид:
$3 + 5\cos x = -\cos(2x)$
Используем формулу двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:
$3 + 5\cos x = -(2\cos^2 x - 1)$
$3 + 5\cos x = -2\cos^2 x + 1$
$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + 5t + 2 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$t = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(2x) - 9\cos x + 6 = 4\sin^2\frac{x}{2}$
Приведем все функции к одному аргументу $x$, используя формулы двойного и половинного углов:
$\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$
$4\sin^2\frac{x}{2} = 4\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) = 2(1 - \cos x)$
Подставим в исходное уравнение:
$(2\cos^2 x - 1) - 9\cos x + 6 = 2(1 - \cos x)$
$2\cos^2 x - 9\cos x + 5 = 2 - 2\cos x$
$2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 7t + 3 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{7+5}{4} = 3$. Этот корень не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
$t_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.10. Решите уравнение:

1) $4\operatorname{ctg} x - 5\sin x = 0;$

2) $4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\sin^2 x = 6;$

3) $7 + 2\sin 2x + 1,5(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x) = 0;$

4) $2\cos 4x - 2\cos^2 x = 3\cos 2x.$

1) $4\text{ctg} x - 5\sin x = 0$

Запишем уравнение, используя определение котангенса: $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$, следовательно $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$4\frac{\cos x}{\sin x} - 5\sin x = 0$
Умножим обе части уравнения на $\sin x$ (с учетом ОДЗ):
$4\cos x - 5\sin^2 x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$4\cos x - 5(1 - \cos^2 x) = 0$
$4\cos x - 5 + 5\cos^2 x = 0$
$5\cos^2 x + 4\cos x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$5t^2 + 4t - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 16 + 100 = 116$.
$t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{5}$.
$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{29}}{5}$. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$, то $3 < -2 + \sqrt{29} < 4$, и $\frac{3}{5} < \frac{-2 + \sqrt{29}}{5} < \frac{4}{5}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{29}}{5}$. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$, то $-8 < -2 - \sqrt{29} < -7$, и $-\frac{8}{5} < \frac{-2 - \sqrt{29}}{5} < -\frac{7}{5}$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos x = \frac{\sqrt{29}-2}{5}$.
Это значение не равно $1$ или $-1$, поэтому условие ОДЗ ($\sin x \neq 0$) выполняется.
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\sin^2 x = 6$

Приведем все функции к одному аргументу $2x$. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.
$4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = 6$
$4\sin^2 2x + 7\cos 2x - (1 - \cos 2x) = 6$
$4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 1 + \cos 2x = 6$
$4\sin^2 2x + 8\cos 2x - 7 = 0$
Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$:
$4(1 - \cos^2 2x) + 8\cos 2x - 7 = 0$
$4 - 4\cos^2 2x + 8\cos 2x - 7 = 0$
$-4\cos^2 2x + 8\cos 2x - 3 = 0$
$4\cos^2 2x - 8\cos 2x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 8t + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.
$t_{1} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_{2} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $7 + 2\sin 2x + 1,5(\text{tg} x + \text{ctg} x) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно $\sin 2x \neq 0$.
Преобразуем выражение в скобках:
$\text{tg} x + \text{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$7 + 2\sin 2x + 1,5 \cdot \frac{2}{\sin 2x} = 0$
$7 + 2\sin 2x + \frac{3}{\sin 2x} = 0$

Сделаем замену $t = \sin 2x$. С учетом ОДЗ, $t \neq 0$ и $|t| \le 1$.
$7 + 2t + \frac{3}{t} = 0$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$7t + 2t^2 + 3 = 0$
$2t^2 + 7t + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условиям $t \neq 0$ и $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\sin 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $2 \cos 4x - 2\cos^2 x = 3\cos 2x$

Приведем все функции к одному аргументу $2x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ и формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$2(2\cos^2 2x - 1) - 2\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 3\cos 2x$
$4\cos^2 2x - 2 - (1 + \cos 2x) = 3\cos 2x$
$4\cos^2 2x - 2 - 1 - \cos 2x = 3\cos 2x$
$4\cos^2 2x - 3 - \cos 2x - 3\cos 2x = 0$
$4\cos^2 2x - 4\cos 2x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 4t - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию.

Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

32.11. Решите уравнение:

1) $\sin^2 2x - \frac{1}{4} = \cos 2x \cos 6x;$

2) $2\sin x \cos 3x = \cos^2 4x - \sin 2x + 1.$

1) $ \sin^2(2x) - \frac{1}{4} = \cos(2x)\cos(6x) $

Преобразуем обе части уравнения, используя тригонометрические формулы.

Для левой части используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:

$ \sin^2(2x) - \frac{1}{4} = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 - \cos(4x)}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2(1 - \cos(4x)) - 1}{4} = \frac{1 - 2\cos(4x)}{4} $.

Для правой части используем формулу преобразования произведения в сумму $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $:

$ \cos(2x)\cos(6x) = \frac{1}{2}(\cos(6x - 2x) + \cos(6x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(8x)) $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{1 - 2\cos(4x)}{4} = \frac{\cos(4x) + \cos(8x)}{2} $

Умножим обе части уравнения на 4:

$ 1 - 2\cos(4x) = 2(\cos(4x) + \cos(8x)) $

$ 1 - 2\cos(4x) = 2\cos(4x) + 2\cos(8x) $

$ 1 - 4\cos(4x) - 2\cos(8x) = 0 $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 $:

$ 1 - 4\cos(4x) - 2(2\cos^2(4x) - 1) = 0 $

$ 1 - 4\cos(4x) - 4\cos^2(4x) + 2 = 0 $

$ -4\cos^2(4x) - 4\cos(4x) + 3 = 0 $

$ 4\cos^2(4x) + 4\cos(4x) - 3 = 0 $

Пусть $ t = \cos(4x) $, тогда $ |t| \le 1 $. Уравнение принимает вид:

$ 4t^2 + 4t - 3 = 0 $

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $.

$ t_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

Значение $ t_1 = -\frac{3}{2} $ не подходит, так как $ |\cos(4x)| \le 1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ \cos(4x) = \frac{1}{2} $

$ 4x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

2) $ 2\sin(x)\cos(3x) = \cos^2(4x) - \sin(2x) + 1 $

Преобразуем левую часть по формуле произведения синуса и косинуса $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) $:

$ 2\sin(x)\cos(3x) = \sin(x + 3x) + \sin(x - 3x) = \sin(4x) + \sin(-2x) = \sin(4x) - \sin(2x) $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ \sin(4x) - \sin(2x) = \cos^2(4x) - \sin(2x) + 1 $

Сократим $ -\sin(2x) $ в обеих частях:

$ \sin(4x) = \cos^2(4x) + 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2(4x) = 1 - \sin^2(4x) $:

$ \sin(4x) = (1 - \sin^2(4x)) + 1 $

$ \sin(4x) = 2 - \sin^2(4x) $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin^2(4x) + \sin(4x) - 2 = 0 $

Пусть $ t = \sin(4x) $, тогда $ |t| \le 1 $. Уравнение принимает вид:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -2 $.

Значение $ t_2 = -2 $ не подходит, так как $ |\sin(4x)| \le 1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ \sin(4x) = 1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

32.12. Решите уравнение $\sin\frac{x}{2}\sin^3 x + \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$.

Исходное уравнение:

$$ \sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4} $$

Для упрощения первого слагаемого воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{3x}{2} $ и $ \beta = \frac{x}{2} $. Тогда:

$$ \sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) $$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$$ \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) + \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4} $$

Теперь применим формулу понижения степени (или формулу половинного угла) для косинуса: $ \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Уравнение примет вид:

$$ \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) + \frac{1+\cos x}{2} = \frac{1}{4} $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$$ 2(\cos x - \cos 2x) + 2(1+\cos x) = 1 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 2\cos x - 2\cos 2x + 2 + 2\cos x = 1 $$

$$ 4\cos x - 2\cos 2x + 1 = 0 $$

Чтобы привести уравнение к одной переменной, используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $.

$$ 4\cos x - 2(2\cos^2 x - 1) + 1 = 0 $$

$$ 4\cos x - 4\cos^2 x + 2 + 1 = 0 $$

$$ -4\cos^2 x + 4\cos x + 3 = 0 $$

Умножим на -1 для удобства:

$$ 4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0 $$

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $, при этом $ |t| \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$$ 4t^2 - 4t - 3 = 0 $$

Решим его с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$

Корни уравнения:

$$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $$

$$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} $$

Теперь вернемся к замене $ \cos x = t $.

1. $ \cos x = \frac{3}{2} $. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1, 1] $, а $ \frac{3}{2} > 1 $.

2. $ \cos x = -\frac{1}{2} $. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого находятся по формуле:

$$ x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Так как $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} $, получаем:

$$ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $ \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

32.13. Решите уравнение:

1) $3\sin x - 8\cos x = 3;$

2) $2\sin x - 5\cos x = 3.$

1) $3\sin x - 8\cos x = 3$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой.

Пусть $t = \tan\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка определена для $x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли значения $x = \pi + 2\pi k$ решениями исходного уравнения. При $x = \pi + 2\pi k$ имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$. Подставим в уравнение:

$3(0) - 8(-1) = 3$

$8 = 3$

Получено неверное равенство, следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями уравнения.

Теперь подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в исходное уравнение:

$3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 8\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 3$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2 \ne 0$:

$6t - 8(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$6t - 8 + 8t^2 = 3 + 3t^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$8t^2 - 3t^2 + 6t - 8 - 3 = 0$

$5t^2 + 6t - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $5+6-11=0$, то один из корней равен $t_1 = 1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} \implies 1 \cdot t_2 = -\frac{11}{5}$, откуда $t_2 = -\frac{11}{5}$.

Вернемся к замене:

1. Если $t=1$, то $\tan\frac{x}{2} = 1$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Если $t=-\frac{11}{5}$, то $\tan\frac{x}{2} = -\frac{11}{5}$.
$\frac{x}{2} = \arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = -\arctan\frac{11}{5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -2\arctan\frac{11}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan\frac{11}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 5\cos x = 3$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, используя универсальную тригонометрическую подстановку $t = \tan\frac{x}{2}$.

Проверим, являются ли решениями значения $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $x = \pi + 2\pi k$ имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$. Подставим в уравнение:

$2(0) - 5(-1) = 3$

$5 = 3$

Получено неверное равенство, значит, $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями.

Подставляем $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$:

$2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 3$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$4t - 5(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$4t - 5 + 5t^2 = 3 + 3t^2$

$5t^2 - 3t^2 + 4t - 5 - 3 = 0$

$2t^2 + 4t - 8 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$t^2 + 2t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

Получаем два корня: $t_1 = -1 + \sqrt{5}$ и $t_2 = -1 - \sqrt{5}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tan\frac{x}{2} = -1 + \sqrt{5}$
$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{5}-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan\frac{x}{2} = -1 - \sqrt{5}$
$\frac{x}{2} = \arctan(-1-\sqrt{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = -\arctan(1+\sqrt{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -2\arctan(1+\sqrt{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(1+\sqrt{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.14. Решите уравнение:

1) $3\sin x + 5\cos x = -3$;

2) $3\sqrt{3} \sin x - 5\cos x = 7$.

1) $3\sin x + 5\cos x = -3$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Один из методов решения таких уравнений — универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка имеет ограничение: она не работает для $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2})$ не определен. Поэтому необходимо проверить, являются ли эти значения $x$ корнями исходного уравнения.

Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$3\sin \pi + 5\cos \pi = 3 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = -5$.

Так как $-5 \neq -3$, значения $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями уравнения, и мы можем без потерь корней использовать указанную подстановку.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в уравнение:

$3 \left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5 \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = -3$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):

$6t + 5(1-t^2) = -3(1+t^2)$

$6t + 5 - 5t^2 = -3 - 3t^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 - 6t - 8 = 0$

Разделим обе части на 2:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -4, а сумма равна 3. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Теперь вернемся к замене $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$:

1. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 4$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} 4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg} 4 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg} 4 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sqrt{3}\sin x - 5\cos x = 7$

Это также линейное тригонометрическое уравнение, которое можно решить с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$.

Сначала проверим, не являются ли корнями значения $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$3\sqrt{3}\sin \pi - 5\cos \pi = 3\sqrt{3} \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 5$.

Поскольку $5 \neq 7$, эти значения не являются корнями.

Выполним подстановку $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$:

$3\sqrt{3}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 7$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$6\sqrt{3}t - 5(1-t^2) = 7(1+t^2)$

$6\sqrt{3}t - 5 + 5t^2 = 7 + 7t^2$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$2t^2 - 6\sqrt{3}t + 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$t^2 - 3\sqrt{3}t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = (9 \cdot 3) - 24 = 27 - 24 = 3$

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$

$t_1 = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$t_2 = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Теперь выполним обратную замену $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$:

1. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 2\sqrt{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \sqrt{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

32.15. Решите уравнение:

1) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4};$

2) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin^4 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0,5.$

1) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени. Сначала преобразуем $\sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$

Тогда для четвертой степени получаем:

$\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 = \left(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}$

Используя еще раз формулу понижения степени для $\cos^2(2\alpha) = \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}$, получаем:

$\sin^4\alpha = \frac{1}{4} \left(1 - 2\cos(2\alpha) + \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}\right) = \frac{1}{8} (2 - 4\cos(2\alpha) + 1 + \cos(4\alpha)) = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))$

Применим эту формулу к обоим слагаемым в исходном уравнении.

Для первого слагаемого, $\sin^4 x$:

$\sin^4 x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))$

Для второго слагаемого, $\sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$:

Аргумент $\alpha = x+\frac{\pi}{4}$. Тогда $2\alpha = 2x+\frac{\pi}{2}$ и $4\alpha = 4x+\pi$.

$\cos(2\alpha) = \cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin(2x)$

$\cos(4\alpha) = \cos(4x+\pi) = -\cos(4x)$

Подставляя это в формулу, получаем:

$\sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{8} (3 - 4(-\sin(2x)) + (-\cos(4x))) = \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x))$

Теперь подставим оба выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 8:

$(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) = 2$

$6 + 4\sin(2x) - 4\cos(2x) = 2$

$4\sin(2x) - 4\cos(2x) = -4$

$\sin(2x) - \cos(2x) = -1$

Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для применения метода вспомогательного угла:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на два семейства решений:

1) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2x - \frac{\pi}{4} = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = \frac{6\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) + \sin^4 \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 0,5$

Как и в предыдущем пункте, используем формулу $\sin^4\alpha = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))$.

Мы уже нашли выражения для первых двух слагаемых:

$\sin^4 x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))$

$\sin^4 \left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x))$

Теперь найдем выражение для третьего слагаемого, $\sin^4 \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$:

Аргумент $\alpha = x-\frac{\pi}{4}$. Тогда $2\alpha = 2x-\frac{\pi}{2}$ и $4\alpha = 4x-\pi$.

$\cos(2\alpha) = \cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(2x)$

$\cos(4\alpha) = \cos(4x-\pi) = -\cos(4x)$

Подставляя это в формулу, получаем:

$\sin^4 \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{8} (3 - 4\sin(2x) - \cos(4x))$

Сложим все три выражения и приравняем к 0,5 (то есть к $\frac{1}{2}$):

$\frac{1}{8} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \frac{1}{8} (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) + \frac{1}{8} (3 - 4\sin(2x) - \cos(4x)) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 8:

$(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + (3 + 4\sin(2x) - \cos(4x)) + (3 - 4\sin(2x) - \cos(4x)) = 4$

Сокращаем подобные члены ($4\sin(2x)$ и $-4\sin(2x)$, $\cos(4x)$ и $-\cos(4x)$):

$3+3+3 - 4\cos(2x) - \cos(4x) = 4$

$9 - 4\cos(2x) - \cos(4x) = 4$

$5 - 4\cos(2x) - \cos(4x) = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

$5 - 4\cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) = 0$

$5 - 4\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 = 0$

$-2\cos^2(2x) - 4\cos(2x) + 6 = 0$

Разделим на -2:

$\cos^2(2x) + 2\cos(2x) - 3 = 0$

Сделаем замену $y = \cos(2x)$. Получим квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos(2x) = -3$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.

2) $\cos(2x) = 1$.

$2x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.16. Решите уравнение:

1) $4\sin^4x + \cos4x = 1 + 12\cos^4x$;

2) $\cos^43x + \cos^4 \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$.

1) $4\sin^4x + \cos(4x) = 1 + 12\cos^4x$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами понижения степени и формулой косинуса двойного угла, чтобы выразить все его члены через $\cos(2x)$.

Известно, что $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ и $\cos^2x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

Тогда:

$\sin^4x = \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

$\cos^4x = \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

Формула косинуса четверного угла: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4\left(\frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\right) + (2\cos^2(2x) - 1) = 1 + 12\left(\frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\right)$

Сократим дроби и раскроем скобки:

$1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x) + 2\cos^2(2x) - 1 = 1 + 3(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$

Приведем подобные члены в левой и правой частях:

$-2\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 1 + 3 + 6\cos(2x) + 3\cos^2(2x)$

$-2\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 4 + 6\cos(2x) + 3\cos^2(2x)$

Вычтем $3\cos^2(2x)$ из обеих частей уравнения:

$-2\cos(2x) = 4 + 6\cos(2x)$

Перенесем члены с $\cos(2x)$ в одну сторону:

$-8\cos(2x) = 4$

$\cos(2x) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^4(3x) + \cos^4\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени для четвертой степени косинуса: $\cos^4\alpha = \left(\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}$.

Применим эту формулу к обоим слагаемым в левой части уравнения:

Для первого слагаемого ($\alpha = 3x$): $\cos^4(3x) = \frac{1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x)}{4}$.

Для второго слагаемого ($\alpha = 3x - \frac{\pi}{4}$): $\cos^4\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + 2\cos\left(2(3x-\frac{\pi}{4})\right) + \cos^2\left(2(3x-\frac{\pi}{4})\right)}{4} = \frac{1 + 2\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{4}$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x)}{4} + \frac{1 + 2\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{4} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 4:

$1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x) + 1 + 2\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) = 1$

Используем формулы приведения: $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\alpha$. Следовательно, $\cos\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(6x)$ и $\cos^2\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin^2(6x)$.

Уравнение принимает вид:

$2 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x) + 2\sin(6x) + \sin^2(6x) = 1$

Сгруппируем члены, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(6x) + \sin^2(6x) = 1$:

$2 + 2(\cos(6x) + \sin(6x)) + (\cos^2(6x) + \sin^2(6x)) = 1$

$2 + 2(\cos(6x) + \sin(6x)) + 1 = 1$

$3 + 2(\cos(6x) + \sin(6x)) = 1$

$2(\cos(6x) + \sin(6x)) = -2$

$\cos(6x) + \sin(6x) = -1$

Решим это уравнение методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(6x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(6x)\right) = -1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$. Используем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\left(\cos(6x)\cos\frac{\pi}{4} + \sin(6x)\sin\frac{\pi}{4}\right) = -1$

$\sqrt{2}\cos\left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$

$\cos\left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$6x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $6x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $6x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.