Страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.18. Найдите область значений функции:

1) $y = \arccos\sqrt{x + 2};$

2) $y = \frac{1}{\arccos x};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{\arcsin x}}.$

1) Для функции $y = \arccos\sqrt{x} + 2$ сначала найдем ее область определения. Аргумент функции $\arccos$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Получаем систему условий:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{x} \le 1 \end{cases} $

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ при всех допустимых $x$, второе неравенство можно переписать как $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя в квадрат все части этого неравенства, получим $0 \le x \le 1$. Это и есть область определения функции, $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем область значений. Рассмотрим вспомогательную функцию $z = \arccos\sqrt{x}$. Так как $x \in [0, 1]$, то $\sqrt{x}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.

Функция $\arccos(t)$ является убывающей. На отрезке $t \in [0, 1]$ она принимает значения от $\arccos(1)$ до $\arccos(0)$.

$\arccos(1) = 0$ (наименьшее значение).

$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$ (наибольшее значение).

Следовательно, область значений функции $z = \arccos\sqrt{x}$ есть отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Исходная функция $y = \arccos\sqrt{x} + 2$ получается из функции $z$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси ординат. Значит, ее область значений — это отрезок $[0+2, \frac{\pi}{2}+2]$.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [2, 2+\frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $[2, 2+\frac{\pi}{2}]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\arccos x}$.

Область определения функции $\arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$\arccos x \neq 0 \implies x \neq \cos(0) \implies x \neq 1$.

Таким образом, область определения исходной функции $D(y) = [-1, 1)$.

Найдем множество значений, которые принимает знаменатель $t = \arccos x$ при $x \in [-1, 1)$. Функция $\arccos x$ убывает на всей области определения. Ее область значений — $[0, \pi]$.

При $x = -1$, $t = \arccos(-1) = \pi$.

При $x \to 1^-$, $t = \arccos x \to \arccos(1) = 0$.

Следовательно, на промежутке $x \in [-1, 1)$, знаменатель $t = \arccos x$ принимает все значения из полуинтервала $(0, \pi]$.

Теперь найдем область значений для $y = \frac{1}{t}$ при $t \in (0, \pi]$. Функция $f(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей на промежутке $(0, +\infty)$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $t=\pi$: $y_{min} = \frac{1}{\pi}$.

Когда $t$ стремится к нулю справа ($t \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{t}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$).

Таким образом, область значений функции $E(y) = [\frac{1}{\pi}, +\infty)$.

Ответ: $[\frac{1}{\pi}, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\sqrt{\arcsin x}}$.

Для нахождения области определения должны выполняться следующие условия:

1. Аргумент функции $\arcsin x$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\arcsin x \ge 0$. Так как $\arcsin x$ — возрастающая функция, это неравенство равносильно $x \ge \sin(0)$, то есть $x \ge 0$.

3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{\arcsin x} \neq 0$, что означает $\arcsin x \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

Объединяя все условия ($x \in [-1, 1]$, $x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем область определения $D(y) = (0, 1]$.

Теперь найдем область значений. Пусть $t = \arcsin x$. На области определения $x \in (0, 1]$, функция $\arcsin x$ возрастает.
При $x \to 0^+$, $t = \arcsin x \to \arcsin(0) = 0$.
При $x=1$, $t = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $t$ принимает значения из полуинтервала $(0, \frac{\pi}{2}]$.

Тогда выражение в знаменателе $u = \sqrt{\arcsin x} = \sqrt{t}$ принимает значения из промежутка $(0, \sqrt{\frac{\pi}{2}}]$.

Наконец, найдем область значений функции $y = \frac{1}{u}$ при $u \in (0, \sqrt{\frac{\pi}{2}}]$. Функция $f(u) = \frac{1}{u}$ является убывающей для $u > 0$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $u = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$: $y_{min} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$.

Когда $u$ стремится к нулю справа ($u \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{u}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$).

Таким образом, область значений функции $E(y) = [\sqrt{\frac{2}{\pi}}, +\infty)$.

Ответ: $[\sqrt{\frac{2}{\pi}}, +\infty)$.

Для нахождения области значений функции $y = \frac{1}{\operatorname{arcctg} x}$ необходимо определить, какие значения может принимать выражение в правой части.

1. Сначала рассмотрим знаменатель дроби, то есть функцию $u(x) = \operatorname{arcctg} x$.

Область определения арккотангенса — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции арккотангенса — это интервал $(0; \pi)$. Это означает, что для любого действительного $x$ выполняется строгое неравенство:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$

2. Теперь рассмотрим исходную функцию $y = \frac{1}{t}$, где $t = \operatorname{arcctg} x$. Мы знаем, что $t$ может принимать любые значения из интервала $(0; \pi)$.

Найдем, какие значения будет принимать $y$ при таких значениях $t$.

Функция $y(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(0; \pi)$.

Чтобы найти область значений $y$, найдем ее значения на границах интервала для $t$ (предельные значения):

• Когда $t$ стремится к 0 справа ($t \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{t}$ стремится к бесконечности: $\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t} = +\infty$.
• Когда $t$ стремится к $\pi$ ($t \to \pi$), значение $y = \frac{1}{t}$ стремится к $\frac{1}{\pi}$.

Поскольку функция $y(t) = \frac{1}{t}$ непрерывна и монотонно убывает на интервале $(0; \pi)$, она принимает все значения между $\frac{1}{\pi}$ и $+\infty$.

Таким образом, область значений исходной функции — это интервал $(\frac{1}{\pi}; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (\frac{1}{\pi}; +\infty)$.

31.20. Найдите область значений функции $y = \frac{1}{\text{arcctg } x}$.

31.20.

Чтобы найти область значений функции $y = \frac{1}{\operatorname{arcctg}x}$, необходимо определить, какой диапазон значений может принимать знаменатель, то есть функция $u(x) = \operatorname{arcctg}x$, а затем найти, какие значения будет принимать выражение $\frac{1}{u}$.

1. Область значений функции арккотангенс. По определению, функция $u = \operatorname{arcctg}x$ принимает значения в интервале $(0; \pi)$. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется строгое неравенство:

$0 < \operatorname{arcctg}x < \pi$

2. Знаменатель $\operatorname{arcctg}x$ никогда не равен нулю, поэтому функция $y$ определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Теперь найдем область значений для $y = \frac{1}{u}$, где $u \in (0; \pi)$.

Рассмотрим поведение функции на границах этого интервала:

• Когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$, значение $\operatorname{arcctg}x$ стремится к $0$ справа. Следовательно, $y$ стремится к $+\infty$:
  $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\operatorname{arcctg}x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$
• Когда аргумент $x$ стремится к $-\infty$, значение $\operatorname{arcctg}x$ стремится к $\pi$. Следовательно, $y$ стремится к $\frac{1}{\pi}$:
  $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{arcctg}x} = \frac{1}{\pi}$

Функция $y(x) = \frac{1}{\operatorname{arcctg}x}$ является непрерывной на всей числовой оси. Кроме того, она является строго возрастающей, так как представляет собой композицию двух убывающих функций: $g(x) = \operatorname{arcctg}x$ и $f(u) = 1/u$ (для $u>0$).

Поскольку функция непрерывна и строго возрастает, ее область значений — это интервал между ее предельными значениями при $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$.

Таким образом, область значений функции — это интервал $(\frac{1}{\pi}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{\pi}; +\infty)$

31.21. Докажите, что при $|x| \le 1$ выполняется равенство

$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$

Для доказательства данного равенства введем замену и воспользуемся определением арккосинуса и основным тригонометрическим тождеством.

Пусть $y = \arccos x$.

Согласно определению арккосинуса, это равенство эквивалентно системе из двух условий:
1) $\cos y = x$
2) $0 \le y \le \pi$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$

Подставим в это тождество $\cos y = x$ из первого условия:
$\sin^2 y + x^2 = 1$

Выразим из полученного уравнения $\sin^2 y$:
$\sin^2 y = 1 - x^2$

Отсюда следует, что $\sin y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Для того чтобы выбрать правильный знак, обратимся ко второму условию из определения арккосинуса: $0 \le y \le \pi$.

Углы $y$, принадлежащие отрезку $[0, \pi]$, находятся в I или II координатных четвертях. Синус для таких углов всегда неотрицателен, то есть $\sin y \ge 0$.

Следовательно, в выражении для $\sin y$ необходимо выбрать знак «+»:
$\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ его первоначальное выражение $\arccos x$:
$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$

Равенство доказано. Стоит отметить, что условие $|x| \le 1$ обеспечивает, что, во-первых, выражение $\arccos x$ определено, а во-вторых, подкоренное выражение $1 - x^2$ является неотрицательным.

Ответ: Равенство $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ при $|x| \le 1$ доказано.

31.22. Докажите, что при $|x| \le 1$ выполняется равенство

$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$

Для доказательства данного равенства воспользуемся определением арксинуса и основным тригонометрическим тождеством.

Пусть $y = \arcsin x$.

По определению функции арксинус, это равносильно выполнению двух условий:
1) $\sin y = x$
2) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства, $\cos(\arcsin x)$, и подставим в нее нашу замену $y = \arcsin x$. Получим выражение $\cos y$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$.

Выразим из этого тождества $\cos^2 y$:
$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$.

Используя условие (1), $\sin y = x$, подставим $x$ в полученное уравнение:
$\cos^2 y = 1 - x^2$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы определить правильный знак, обратимся к условию (2): $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует первой и четвертой координатным четвертям, где функция косинуса принимает только неотрицательные значения, то есть $\cos y \ge 0$.

Следовательно, мы должны выбрать знак «+» перед корнем:
$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.

Теперь выполним обратную замену $y = \arcsin x$:
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.

Равенство справедливо для всей области определения функции $\arcsin x$, то есть при $|x| \le 1$. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

31.23. Вычислите:

1) $\cos \left(\arcsin \frac{4}{5}\right);$

2) $\sin \left(2 \arcsin \frac{3}{5}\right);$

3) $\cos \left(\frac{1}{2} \arccos \frac{1}{8}\right).$

1) $\cos(\arcsin\frac{4}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Поскольку $\sin(\alpha) = \frac{4}{5} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти косинус является неотрицательным ($\cos(\alpha) \ge 0$).
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Выразим косинус: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$.
Подставим известное значение синуса:
$\cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$.
Так как $\cos(\alpha) \ge 0$, извлекаем квадратный корень со знаком плюс:
$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Следовательно, $\cos(\arcsin\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

2) $\sin(2\arcsin\frac{3}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$. Тогда $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Нам нужно найти значение $\sin(2\alpha)$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
Мы знаем $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$. Теперь найдем $\cos(\alpha)$.
Поскольку $\sin(\alpha) = \frac{3}{5} > 0$, угол $\alpha$ лежит в первой четверти, где $\cos(\alpha) \ge 0$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$:
$\cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь подставим значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:
$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$

3) $\cos(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{8})$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{8}$. По определению арккосинуса, $\cos(\alpha) = \frac{1}{8}$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Нам нужно вычислить $\cos(\frac{\alpha}{2})$. Воспользуемся формулой косинуса половинного угла:
$\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$.
Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, то $\frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом диапазоне косинус неотрицателен, поэтому мы берем положительное значение корня:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$.
Подставим значение $\cos(\alpha) = \frac{1}{8}$:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8+1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$.
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

31.24. Вычислите:

1) $\sin \left(\arccos \frac{1}{3}\right)$;

2) $\cos \left(2 \arccos \frac{4}{5}\right)$;

3) $\cos \left(\frac{1}{2} \arcsin \frac{5}{13}\right)$.

1) $ \sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) $

Пусть $ \alpha = \arccos\frac{1}{3} $. По определению арккосинуса, это означает, что $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.

Нам нужно найти $ \sin\alpha $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Отсюда $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим известное значение $ \cos\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.

Так как $ 0 \le \alpha \le \pi $, то $ \sin\alpha \ge 0 $. Следовательно, мы берем положительное значение корня:

$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Таким образом, $ \sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $

2) $ \cos\left(2\arccos\frac{4}{5}\right) $

Пусть $ \alpha = \arccos\frac{4}{5} $. Тогда по определению $ \cos\alpha = \frac{4}{5} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.

Нам нужно вычислить $ \cos(2\alpha) $. Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставим значение $ \cos\alpha $ в формулу:

$ \cos(2\alpha) = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2\cdot\frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25} $.

Следовательно, $ \cos\left(2\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{7}{25} $.

Ответ: $ \frac{7}{25} $

3) $ \cos\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{5}{13}\right) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{5}{13} $. По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Нам нужно найти $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) $. Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $.

Сначала найдем $ \cos\alpha $. Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Поскольку $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $, то $ \cos\alpha \ge 0 $. Значит, $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Теперь подставим значение $ \cos\alpha $ в формулу для косинуса половинного угла:

$ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \frac{12}{13}}{2} = \frac{\frac{13+12}{13}}{2} = \frac{\frac{25}{13}}{2} = \frac{25}{26} $.

Определим знак $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) $. Так как $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $, то, разделив на 2, получим $ -\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{4} $. В этом промежутке косинус положителен, поэтому $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) > 0 $.

$ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} $.

Ответ: $ \frac{5}{\sqrt{26}} $

31.25. Вычислите:

1) $ \sin(\operatorname{arctg} 2) $;

2) $ \cos\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{2} - \operatorname{arcctg} 3\right) $.

1)
Пусть $\alpha = \text{arcctg } 2$. По определению арккотангенса, это означает, что $\text{ctg } \alpha = 2$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(0, \pi)$.
Нам нужно найти $\text{sin } \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$.
Подставим известное значение котангенса в формулу:
$1 + 2^2 = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$
$1 + 4 = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$
$5 = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$
Отсюда находим $\text{sin}^2 \alpha$:
$\text{sin}^2 \alpha = \frac{1}{5}$
Следовательно, $\text{sin } \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как по определению $\text{arcctg } x$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то и наш угол $\alpha$ лежит в этом интервале. Синус в первой и второй четвертях положителен, поэтому мы выбираем значение со знаком плюс.
$\text{sin } \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Таким образом, $\text{sin}(\text{arcctg } 2) = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

2)
Для вычисления значения выражения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\text{cos}(a - b) = \text{cos } a \text{ cos } b + \text{sin } a \text{ sin } b$.
В нашем случае, пусть $a = \text{arctg } \frac{1}{2}$ и $b = \text{arcctg } 3$. Нам необходимо найти значения $\text{cos } a$, $\text{sin } a$, $\text{cos } b$ и $\text{sin } b$.

1. Найдем синус и косинус для $a = \text{arctg } \frac{1}{2}$.
Из определения арктангенса следует, что $\text{tg } a = \frac{1}{2}$ и $a \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как тангенс положителен, угол $a$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.
Используем тождество $1 + \text{tg}^2 a = \frac{1}{\text{cos}^2 a}$:
$1 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{\text{cos}^2 a} \implies 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = \frac{1}{\text{cos}^2 a} \implies \text{cos}^2 a = \frac{4}{5}$.
Поскольку $a$ находится в первой четверти, $\text{cos } a > 0$, поэтому $\text{cos } a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Теперь найдем $\text{sin } a$ из тождества $\text{sin}^2 a + \text{cos}^2 a = 1$:
$\text{sin}^2 a = 1 - \text{cos}^2 a = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Поскольку $a$ находится в первой четверти, $\text{sin } a > 0$, поэтому $\text{sin } a = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

2. Найдем синус и косинус для $b = \text{arcctg } 3$.
Из определения арккотангенса следует, что $\text{ctg } b = 3$ и $b \in (0, \pi)$. Так как котангенс положителен, угол $b$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.
Используем тождество $1 + \text{ctg}^2 b = \frac{1}{\text{sin}^2 b}$:
$1 + 3^2 = \frac{1}{\text{sin}^2 b} \implies 1 + 9 = 10 = \frac{1}{\text{sin}^2 b} \implies \text{sin}^2 b = \frac{1}{10}$.
Поскольку $b$ находится в первой четверти, $\text{sin } b > 0$, поэтому $\text{sin } b = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
Теперь найдем $\text{cos } b$ из тождества $\text{sin}^2 b + \text{cos}^2 b = 1$:
$\text{cos}^2 b = 1 - \text{sin}^2 b = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
Поскольку $b$ находится в первой четверти, $\text{cos } b > 0$, поэтому $\text{cos } b = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

3. Подставим найденные значения в формулу косинуса разности:
$\text{cos}(\text{arctg}\frac{1}{2} - \text{arcctg } 3) = \text{cos } a \text{ cos } b + \text{sin } a \text{ sin } b = (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}) + (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}})$
$= \frac{6}{\sqrt{50}} + \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}}$
Упростим знаменатель: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Получаем: $\frac{7}{5\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{7\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.
Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{10}$

31.26. Вычислите:

1) $\sin(\operatorname{arctg}(-3));$

2) $\cos\left(2\operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \arccos\frac{3}{5}\right).$

1)Пусть $α = \operatorname{arctg}(-3)$. По определению арктангенса, $\operatorname{tg}(α) = -3$ и $α \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как тангенс отрицательный, то угол $α$ находится в четвертой четверти, то есть $α \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$. В этой четверти синус отрицателен. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \operatorname{ctg}^2(α) = \frac{1}{\sin^2(α)}$. Сначала найдем котангенс: $\operatorname{ctg}(α) = \frac{1}{\operatorname{tg}(α)} = -\frac{1}{3}$. Подставим значение котангенса в тождество:$1 + (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{\sin^2(α)}$$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\sin^2(α)}$$\frac{10}{9} = \frac{1}{\sin^2(α)}$$\sin^2(α) = \frac{9}{10}$Поскольку $α \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, $\sin(α)$ должен быть отрицательным.$\sin(α) = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Следовательно, $\sin(\operatorname{arctg}(-3)) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Ответ: $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2)Для вычисления значения выражения $\cos(2\operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \arccos\frac{3}{5})$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(α + β) = \cos(α)\cos(β) - \sin(α)\sin(β)$. Пусть $α = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{4}$ и $β = \arccos\frac{3}{5}$. Сначала найдем значения синуса и косинуса для угла $β$. Из определения арккосинуса, если $β = \arccos\frac{3}{5}$, то $\cos(β) = \frac{3}{5}$ и $β \in [0, \pi]$. Так как $\cos(β) > 0$, то $β$ находится в первой четверти, $β \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Найдем $\sin(β)$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(β) + \cos^2(β) = 1$.$\sin^2(β) = 1 - \cos^2(β) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Поскольку $β$ в первой четверти, $\sin(β) > 0$, поэтому $\sin(β) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Теперь найдем значения синуса и косинуса для угла $α = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{4}$. Пусть $\gamma = \operatorname{arctg}\frac{1}{4}$. Тогда $\operatorname{tg}(\gamma) = \frac{1}{4}$. Воспользуемся формулами двойного угла, выраженными через тангенс:$\cos(α) = \cos(2\gamma) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\gamma)}{1 + \operatorname{tg}^2(\gamma)} = \frac{1 - (\frac{1}{4})^2}{1 + (\frac{1}{4})^2} = \frac{1 - \frac{1}{16}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{15}{16}}{\frac{17}{16}} = \frac{15}{17}$.$\sin(α) = \sin(2\gamma) = \frac{2\operatorname{tg}(\gamma)}{1 + \operatorname{tg}^2(\gamma)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{17} = \frac{8}{17}$. Подставим все найденные значения в формулу косинуса суммы:$\cos(α + β) = \cos(α)\cos(β) - \sin(α)\sin(β) = \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} - \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} = \frac{45}{85} - \frac{32}{85} = \frac{13}{85}$. Ответ: $\frac{13}{85}$.

31.27. Решите уравнение:

1) $\cos(\arccos(4x-9)) = x^2 - 5x + 5;$

2) $\sin(\arcsin(x+2)) = x+2.$

1) $ \cos(\arccos(4x - 9)) = x^2 - 5x + 5 $

По определению арккосинуса, равенство $ \cos(\arccos(a)) = a $ верно при условии, что $ a $ принадлежит области определения арккосинуса, то есть $ -1 \le a \le 1 $.

В данном случае $ a = 4x - 9 $. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x - 9 = x^2 - 5x + 5, \\ -1 \le 4x - 9 \le 1. \end{cases} $

Сначала решим неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ) для $ x $:

$ -1 \le 4x - 9 \le 1 $

Прибавим 9 ко всем частям двойного неравенства:

$ -1 + 9 \le 4x \le 1 + 9 $

$ 8 \le 4x \le 10 $

Разделим все части на 4:

$ \frac{8}{4} \le x \le \frac{10}{4} $

$ 2 \le x \le 2,5 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in [2; 2,5] $.

Теперь решим уравнение:

$ 4x - 9 = x^2 - 5x + 5 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ x^2 - 5x - 4x + 5 + 9 = 0 $

$ x^2 - 9x + 14 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 7 $.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x \in [2; 2,5] $):

• Корень $ x_1 = 2 $ принадлежит отрезку $ [2; 2,5] $, следовательно, является решением исходного уравнения.
• Корень $ x_2 = 7 $ не принадлежит отрезку $ [2; 2,5] $, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2.

2) $ \sin(\arcsin(x + 2)) = x + 2 $

Данное уравнение представляет собой тождество $ \sin(\arcsin(a)) = a $, которое справедливо для всех значений $ a $, входящих в область определения функции арксинус, то есть при $ -1 \le a \le 1 $.

В данном случае $ a = x + 2 $. Следовательно, уравнение верно для всех $ x $, удовлетворяющих условию:

$ -1 \le x + 2 \le 1 $

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства, чтобы найти $ x $:

$ -1 - 2 \le x \le 1 - 2 $

$ -3 \le x \le 1 $

Таким образом, решением уравнения является множество всех значений $ x $ из отрезка $ [-3; 1] $.

Ответ: $ [-3; 1] $.

31.28. Решите уравнение:

1) $ \cos(\arccos(4x - 1)) = 3x^2 $

2) $ \cos(\arccos(x - 1)) = x - 1 $

1) $cos(arccos(4x - 1)) = 3x^2$

Данное уравнение имеет смысл только при условии, что выражение под знаком арккосинуса принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Найдем ОДЗ:

$-1 \le 4x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le 4x \le 1 + 1$

$0 \le 4x \le 2$

Разделим все части неравенства на 4:

$0 \le x \le \frac{2}{4}$

$0 \le x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.

Теперь решим само уравнение. По определению арккосинуса, $cos(arccos(y)) = y$ для любого $y \in [-1, 1]$. В нашем случае $y = 4x - 1$, и мы уже учли это условие в ОДЗ.

Уравнение упрощается до вида:

$4x - 1 = 3x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или заметить, что сумма коэффициентов $3 - 4 + 1 = 0$. Это означает, что один из корней равен 1.

$x_1 = 1$

Второй корень можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$1 \cdot x_2 = \frac{1}{3}$, следовательно, $x_2 = \frac{1}{3}$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [0, \frac{1}{2}]$).

Проверка для $x_1 = 1$: $1$ не принадлежит отрезку $[0, \frac{1}{2}]$, так как $1 > \frac{1}{2}$. Следовательно, $x = 1$ является посторонним корнем.

Проверка для $x_2 = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \frac{1}{2}]$, так как $0 \le \frac{1}{3} \le \frac{1}{2}$ (это верно, поскольку $2 \le 3$). Следовательно, $x = \frac{1}{3}$ является решением уравнения.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $cos(arccos(x - 1)) = x - 1$

Это уравнение является тождеством $cos(arccos(y)) = y$, где $y = x - 1$.

Данное тождество справедливо для всех значений $x$, при которых определена функция $arccos(x - 1)$. Арккосинус определен, если его аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Следовательно, решением уравнения будет множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:

$-1 + 1 \le x \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Таким образом, решением уравнения является любой $x$ из отрезка $[0, 2]$.

Ответ: $[0, 2]$.

31.29. Решите неравенство:

1) $ \arccos(2x - 1) > \frac{\pi}{3}; $

2) $ \arcsin 2x > \frac{\pi}{6}; $

3) $ \arcsin(5 - 3x) < -\frac{\pi}{3}. $

1) $\arccos(2x-1) > \frac{\pi}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для арккосинуса. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно:

$-1 \le 2x-1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$0 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$0 \le x \le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0; 1]$.

Теперь решим исходное неравенство. Функция $y = \cos(t)$ является монотонно убывающей на отрезке $[0; \pi]$, который является областью значений арккосинуса. Поэтому при применении функции косинус к обеим частям неравенства знак неравенства меняется на противоположный.

$\cos(\arccos(2x-1)) < \cos(\frac{\pi}{3})$

$2x-1 < \frac{1}{2}$

$2x < 1 + \frac{1}{2}$

$2x < \frac{3}{2}$

$x < \frac{3}{4}$

Для нахождения окончательного решения необходимо учесть ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x < \frac{3}{4} \\ 0 \le x \le 1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $0 \le x < \frac{3}{4}$.

Ответ: $[0; \frac{3}{4})$.

2) $\arcsin(2x) > \frac{\pi}{6}$

ОДЗ для арксинуса определяется условием:

$-1 \le 2x \le 1$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} < \arcsin(2x) \le \frac{\pi}{2}$

Функция $y = \sin(t)$ является монотонно возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Применим синус ко всем частям двойного неравенства, сохраняя знаки:

$\sin(\frac{\pi}{6}) < \sin(\arcsin(2x)) \le \sin(\frac{\pi}{2})$

$\frac{1}{2} < 2x \le 1$

Разделим все части на 2:

$\frac{1}{4} < x \le \frac{1}{2}$

Полученный интервал полностью входит в ОДЗ $x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, поэтому он и является решением.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}]$.

3) $\arcsin(5-3x) < -\frac{\pi}{3}$

ОДЗ для арксинуса определяется условием:

$-1 \le 5-3x \le 1$

Вычтем 5 из всех частей:

$-1 - 5 \le -3x \le 1 - 5$

$-6 \le -3x \le -4$

Разделим на -3, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-4}{-3} \le x \le \frac{-6}{-3}$

$\frac{4}{3} \le x \le 2$

ОДЗ: $x \in [\frac{4}{3}; 2]$.

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(5-3x) < -\frac{\pi}{3}$

Функция $y = \sin(t)$ является монотонно возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Применим синус ко всем частям, сохраняя знаки неравенств:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) \le \sin(\arcsin(5-3x)) < \sin(-\frac{\pi}{3})$

$-1 \le 5-3x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычтем 5 из всех частей:

$-1 - 5 \le -3x < -\frac{\sqrt{3}}{2} - 5$

$-6 \le -3x < -\frac{10+\sqrt{3}}{2}$

Разделим на -3, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-(10+\sqrt{3})}{2 \cdot (-3)} < x \le \frac{-6}{-3}$

$\frac{10+\sqrt{3}}{6} < x \le 2$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($[\frac{4}{3}; 2]$), так как $\frac{10+\sqrt{3}}{6} \approx \frac{10+1.732}{6} \approx 1.955$, а $\frac{4}{3} \approx 1.333$.

Ответ: $(\frac{10+\sqrt{3}}{6}; 2]$.

31.30. Решите неравенство:

1) $arccos(4x - 1) > \frac{3\pi}{4}$;

2) $arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$;

3) $arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$.

1) $\arccos(4x - 1) > \frac{3\pi}{4}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для арккосинуса определяется условием, что его аргумент должен находиться в отрезке $[-1, 1]$.
$-1 \le 4x - 1 \le 1$
$-1 + 1 \le 4x \le 1 + 1$
$0 \le 4x \le 2$
$0 \le x \le \frac{1}{2}$
Область значений функции $y = \arccos(t)$ — это отрезок $[0, \pi]$.
Из неравенства $\arccos(4x - 1) > \frac{3\pi}{4}$ и области значений следует, что $\frac{3\pi}{4} < \arccos(4x - 1) \le \pi$.
Функция $y = \cos(t)$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\cos(\frac{3\pi}{4}) > \cos(\arccos(4x - 1)) \ge \cos(\pi)$
$-\frac{\sqrt{2}}{2} > 4x - 1 \ge -1$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} 4x - 1 \ge -1 \\ 4x - 1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решим эту систему:
1) $4x - 1 \ge -1 \implies 4x \ge 0 \implies x \ge 0$
2) $4x - 1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies 4x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 4x < \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \implies x < \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$
Объединяя результаты, получаем: $0 \le x < \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$.
Теперь найдём пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2 - \sqrt{2} \approx 0.586$, и $\frac{2 - \sqrt{2}}{8} \approx 0.073$. Это значение меньше, чем $\frac{1}{2} = 0.5$.
Следовательно, найденный интервал полностью входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in [0, \frac{2 - \sqrt{2}}{8})$.

2) $\arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для арксинуса определяется условием, что его аргумент должен находиться в отрезке $[-1, 1]$.
$-1 \le 2 - 3x \le 1$
$-1 - 2 \le -3x \le 1 - 2$
$-3 \le -3x \le -1$
Делим на -3 и меняем знаки неравенства:
$1 \ge x \ge \frac{1}{3}$, то есть $\frac{1}{3} \le x \le 1$.
Область значений функции $y = \arcsin(t)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Из неравенства $\arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$ и области значений следует, что $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$.
Функция $y = \sin(t)$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Применим синус ко всем частям двойного неравенства, сохраняя знаки неравенства:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) \le \sin(\arcsin(2 - 3x)) < \sin(\frac{\pi}{4})$
$-1 \le 2 - 3x < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} 2 - 3x \ge -1 \\ 2 - 3x < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решим эту систему:
1) $2 - 3x \ge -1 \implies -3x \ge -3 \implies x \le 1$
2) $2 - 3x < \frac{\sqrt{2}}{2} \implies -3x < \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \implies -3x < \frac{\sqrt{2} - 4}{2} \implies x > \frac{4 - \sqrt{2}}{6}$
Объединяя результаты, получаем: $\frac{4 - \sqrt{2}}{6} < x \le 1$.
Теперь найдём пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [\frac{1}{3}, 1]$.
Сравним $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $4 - \sqrt{2} > 4 - 2 = 2$, то $\frac{4 - \sqrt{2}}{6} > \frac{2}{6}$.
Следовательно, пересечением является интервал $(\frac{4 - \sqrt{2}}{6}, 1]$.
Ответ: $x \in (\frac{4 - \sqrt{2}}{6}, 1]$.

3) $\arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для арккосинуса:
$-1 \le 4 - 7x \le 1$
$-1 - 4 \le -7x \le 1 - 4$
$-5 \le -7x \le -3$
Делим на -7 и меняем знаки неравенства:
$\frac{5}{7} \ge x \ge \frac{3}{7}$, то есть $\frac{3}{7} \le x \le \frac{5}{7}$.
Область значений функции $y = \arccos(t)$ — это отрезок $[0, \pi]$.
Из неравенства $\arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$ и области значений следует, что $0 \le \arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$.
Функция $y = \cos(t)$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\cos(0) \ge \cos(\arccos(4 - 7x)) > \cos(\frac{5\pi}{6})$
$1 \ge 4 - 7x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} 4 - 7x \le 1 \\ 4 - 7x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
Решим эту систему:
1) $4 - 7x \le 1 \implies -7x \le -3 \implies x \ge \frac{3}{7}$
2) $4 - 7x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies -7x > -4 - \frac{\sqrt{3}}{2} \implies -7x > -\frac{8 + \sqrt{3}}{2} \implies x < \frac{8 + \sqrt{3}}{14}$
Объединяя результаты, получаем: $\frac{3}{7} \le x < \frac{8 + \sqrt{3}}{14}$.
Теперь найдём пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [\frac{3}{7}, \frac{5}{7}]$.
Сравним $\frac{8 + \sqrt{3}}{14}$ и $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$. Так как $\sqrt{3} < 2$, то $8 + \sqrt{3} < 8 + 2 = 10$. Следовательно, $\frac{8 + \sqrt{3}}{14} < \frac{10}{14}$.
Сравним $\frac{8 + \sqrt{3}}{14}$ и $\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$. Так как $8 + \sqrt{3} > 6$, то $\frac{8 + \sqrt{3}}{14} > \frac{6}{14}$.
Таким образом, найденный интервал $[\frac{3}{7}, \frac{8 + \sqrt{3}}{14})$ находится внутри ОДЗ.
Ответ: $x \in [\frac{3}{7}, \frac{8 + \sqrt{3}}{14})$.

31.31. Решите неравенство:

1) $ \operatorname{arctg}(5x + 3) > -\frac{\pi}{3} $;

2) $ \operatorname{arcctg}(x - 2) < \frac{5\pi}{6} $.

1) Решим неравенство $arctg(5x + 3) > -\frac{\pi}{3}$.

Область значений функции арктангенс $y = arctg(t)$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поскольку $arctg(5x+3)$ всегда меньше $\frac{\pi}{2}$, данное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$$-\frac{\pi}{3} < arctg(5x + 3) < \frac{\pi}{2}$$

Функция $y = tg(t)$ является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Применим тангенс к неравенству $arctg(5x + 3) > -\frac{\pi}{3}$. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

$$tg(arctg(5x + 3)) > tg(-\frac{\pi}{3})$$

Используя тождество $tg(arctg(a)) = a$ и свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$, получаем:

$$5x + 3 > -tg(\frac{\pi}{3})$$

Поскольку $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, имеем:

$$5x + 3 > -\sqrt{3}$$

$$5x > -3 - \sqrt{3}$$

$$x > \frac{-3 - \sqrt{3}}{5}$$

Правая часть двойного неравенства, $arctg(5x + 3) < \frac{\pi}{2}$, выполняется для любого $x$ из области определения, так как $\frac{\pi}{2}$ является верхней границей множества значений арктангенса, которая не достигается.

Ответ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{3}}{5}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $arcctg(x - 2) < \frac{5\pi}{6}$.

Область значений функции арккотангенс $y = arcctg(t)$ — это интервал $(0; \pi)$. Поскольку $arcctg(x - 2)$ всегда больше $0$, данное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$$0 < arcctg(x - 2) < \frac{5\pi}{6}$$

Функция $y = ctg(t)$ является строго убывающей на интервале $(0; \pi)$. Применим котангенс к неравенству $arcctg(x - 2) < \frac{5\pi}{6}$. Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

$$ctg(arcctg(x - 2)) > ctg(\frac{5\pi}{6})$$

Используя тождество $ctg(arcctg(a)) = a$ и формулу приведения $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:

$$x - 2 > ctg(\pi - \frac{\pi}{6})$$

$$x - 2 > -ctg(\frac{\pi}{6})$$

Поскольку $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, имеем:

$$x - 2 > -\sqrt{3}$$

$$x > 2 - \sqrt{3}$$

Левая часть двойного неравенства, $arcctg(x - 2) > 0$, выполняется для любого $x$ из области определения, так как $0$ является нижней границей множества значений арккотангенса, которая не достигается.

Ответ: $x \in (2 - \sqrt{3}; +\infty)$.