gdz.top
Номер 31.21, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 31. Функции y = arccos x, y = arcsin x, y = arctg x, y = arcctg x - номер 31.21, страница 232.
№31.20
№31.21 (с. 232)
Условие. №31.21 (с. 232)
31.21. Докажите, что при $|x| \le 1$ выполняется равенство
$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$
Решение. №31.21 (с. 232)
Для доказательства данного равенства введем замену и воспользуемся определением арккосинуса и основным тригонометрическим тождеством.
Пусть $y = \arccos x$.
Согласно определению арккосинуса, это равенство эквивалентно системе из двух условий:
1) $\cos y = x$
2) $0 \le y \le \pi$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$
Подставим в это тождество $\cos y = x$ из первого условия:
$\sin^2 y + x^2 = 1$
Выразим из полученного уравнения $\sin^2 y$:
$\sin^2 y = 1 - x^2$
Отсюда следует, что $\sin y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Для того чтобы выбрать правильный знак, обратимся ко второму условию из определения арккосинуса: $0 \le y \le \pi$.
Углы $y$, принадлежащие отрезку $[0, \pi]$, находятся в I или II координатных четвертях. Синус для таких углов всегда неотрицателен, то есть $\sin y \ge 0$.
Следовательно, в выражении для $\sin y$ необходимо выбрать знак «+»:
$\sin y = \sqrt{1 - x^2}$
Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ его первоначальное выражение $\arccos x$:
$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$
Равенство доказано. Стоит отметить, что условие $|x| \le 1$ обеспечивает, что, во-первых, выражение $\arccos x$ определено, а во-вторых, подкоренное выражение $1 - x^2$ является неотрицательным.
Ответ: Равенство $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ при $|x| \le 1$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 31.21 расположенного на странице 232 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.21 (с. 232), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.