Номер 31.16, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.16. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \arcsin x}$;

2) $y = \sqrt{\arcsin x - \frac{\pi}{2}};$

3) $y = \sqrt{-\arccos x}$;

4) $y = \arccos(x^2 - 2x + 2)$.

1) $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \arcsin x}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} \frac{\pi}{2} - \arcsin x \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{\pi}{2} - \arcsin x \ge 0$

$\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Область значений функции $\arcsin x$ есть отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Следовательно, неравенство $\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ выполняется для всех $x$ из области определения арксинуса, то есть для всех $x \in [-1; 1]$.

Таким образом, решением системы является отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: $[-1; 1]$.

2) $y = \sqrt{\arcsin x - \frac{\pi}{2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} \arcsin x - \frac{\pi}{2} \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\arcsin x - \frac{\pi}{2} \ge 0$

$\arcsin x \ge \frac{\pi}{2}$

Так как область значений функции $\arcsin x$ есть отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, то неравенство $\arcsin x \ge \frac{\pi}{2}$ может выполняться только в случае равенства:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2}$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 1$. Это значение удовлетворяет второму условию системы ($-1 \le 1 \le 1$).

Ответ: $\{1\}$.

3) $y = \sqrt{-\arccos x}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} -\arccos x \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$-\arccos x \ge 0$

$\arccos x \le 0$

Область значений функции $\arccos x$ есть отрезок $[0; \pi]$. Следовательно, неравенство $\arccos x \le 0$ может выполняться только в случае равенства:

$\arccos x = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 1$. Это значение удовлетворяет второму условию системы ($-1 \le 1 \le 1$).

Ответ: $\{1\}$.

4) $y = \arccos(x^2 - 2x + 2)$

Область определения функции $\arccos t$ есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, аргумент данной функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le x^2 - 2x + 2 \le 1$

Преобразуем выражение в скобках, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$

Подставим это выражение в неравенство:

$-1 \le (x - 1)^2 + 1 \le 1$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 \le (x - 1)^2 \le 0$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (x - 1)^2 \ge -2 \\ (x - 1)^2 \le 0 \end{cases}$

Первое неравенство $(x - 1)^2 \ge -2$ выполняется для любых действительных значений $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Второе неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ выполняется только тогда, когда $(x - 1)^2 = 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Решим уравнение $(x - 1)^2 = 0$:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, область определения функции состоит из единственного числа.

Ответ: $\{1\}$.