gdz.top
Номер 31.20, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 31. Функции y = arccos x, y = arcsin x, y = arctg x, y = arcctg x - номер 31.20, страница 232.
№31.19
№31.20 (с. 232)
Условие. №31.20 (с. 232)
31.20. Найдите область значений функции $y = \frac{1}{\text{arcctg } x}$.
Решение. №31.20 (с. 232)
31.20.
Чтобы найти область значений функции $y = \frac{1}{\operatorname{arcctg}x}$, необходимо определить, какой диапазон значений может принимать знаменатель, то есть функция $u(x) = \operatorname{arcctg}x$, а затем найти, какие значения будет принимать выражение $\frac{1}{u}$.
1. Область значений функции арккотангенс. По определению, функция $u = \operatorname{arcctg}x$ принимает значения в интервале $(0; \pi)$. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется строгое неравенство:
$0 < \operatorname{arcctg}x < \pi$
2. Знаменатель $\operatorname{arcctg}x$ никогда не равен нулю, поэтому функция $y$ определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
3. Теперь найдем область значений для $y = \frac{1}{u}$, где $u \in (0; \pi)$.
Рассмотрим поведение функции на границах этого интервала:
- Когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$, значение $\operatorname{arcctg}x$ стремится к $0$ справа. Следовательно, $y$ стремится к $+\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\operatorname{arcctg}x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$ - Когда аргумент $x$ стремится к $-\infty$, значение $\operatorname{arcctg}x$ стремится к $\pi$. Следовательно, $y$ стремится к $\frac{1}{\pi}$:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{arcctg}x} = \frac{1}{\pi}$
Функция $y(x) = \frac{1}{\operatorname{arcctg}x}$ является непрерывной на всей числовой оси. Кроме того, она является строго возрастающей, так как представляет собой композицию двух убывающих функций: $g(x) = \operatorname{arcctg}x$ и $f(u) = 1/u$ (для $u>0$).
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает, ее область значений — это интервал между ее предельными значениями при $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$.
Таким образом, область значений функции — это интервал $(\frac{1}{\pi}; +\infty)$.
Ответ: $(\frac{1}{\pi}; +\infty)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 31.20 расположенного на странице 232 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.20 (с. 232), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.