Номер 31.23, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.23. Вычислите:

1) $\cos \left(\arcsin \frac{4}{5}\right);$

2) $\sin \left(2 \arcsin \frac{3}{5}\right);$

3) $\cos \left(\frac{1}{2} \arccos \frac{1}{8}\right).$

1) $\cos(\arcsin\frac{4}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Поскольку $\sin(\alpha) = \frac{4}{5} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти косинус является неотрицательным ($\cos(\alpha) \ge 0$).
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Выразим косинус: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$.
Подставим известное значение синуса:
$\cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$.
Так как $\cos(\alpha) \ge 0$, извлекаем квадратный корень со знаком плюс:
$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Следовательно, $\cos(\arcsin\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

2) $\sin(2\arcsin\frac{3}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$. Тогда $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Нам нужно найти значение $\sin(2\alpha)$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
Мы знаем $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$. Теперь найдем $\cos(\alpha)$.
Поскольку $\sin(\alpha) = \frac{3}{5} > 0$, угол $\alpha$ лежит в первой четверти, где $\cos(\alpha) \ge 0$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$:
$\cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь подставим значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:
$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$

3) $\cos(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{8})$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{8}$. По определению арккосинуса, $\cos(\alpha) = \frac{1}{8}$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Нам нужно вычислить $\cos(\frac{\alpha}{2})$. Воспользуемся формулой косинуса половинного угла:
$\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$.
Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, то $\frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом диапазоне косинус неотрицателен, поэтому мы берем положительное значение корня:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$.
Подставим значение $\cos(\alpha) = \frac{1}{8}$:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8+1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$.
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$