Номер 31.30, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.30. Решите неравенство:

1) $arccos(4x - 1) > \frac{3\pi}{4}$;

2) $arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$;

3) $arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$.

1) $\arccos(4x - 1) > \frac{3\pi}{4}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для арккосинуса определяется условием, что его аргумент должен находиться в отрезке $[-1, 1]$.
$-1 \le 4x - 1 \le 1$
$-1 + 1 \le 4x \le 1 + 1$
$0 \le 4x \le 2$
$0 \le x \le \frac{1}{2}$
Область значений функции $y = \arccos(t)$ — это отрезок $[0, \pi]$.
Из неравенства $\arccos(4x - 1) > \frac{3\pi}{4}$ и области значений следует, что $\frac{3\pi}{4} < \arccos(4x - 1) \le \pi$.
Функция $y = \cos(t)$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\cos(\frac{3\pi}{4}) > \cos(\arccos(4x - 1)) \ge \cos(\pi)$
$-\frac{\sqrt{2}}{2} > 4x - 1 \ge -1$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} 4x - 1 \ge -1 \\ 4x - 1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решим эту систему:
1) $4x - 1 \ge -1 \implies 4x \ge 0 \implies x \ge 0$
2) $4x - 1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies 4x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 4x < \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \implies x < \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$
Объединяя результаты, получаем: $0 \le x < \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$.
Теперь найдём пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2 - \sqrt{2} \approx 0.586$, и $\frac{2 - \sqrt{2}}{8} \approx 0.073$. Это значение меньше, чем $\frac{1}{2} = 0.5$.
Следовательно, найденный интервал полностью входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in [0, \frac{2 - \sqrt{2}}{8})$.

2) $\arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для арксинуса определяется условием, что его аргумент должен находиться в отрезке $[-1, 1]$.
$-1 \le 2 - 3x \le 1$
$-1 - 2 \le -3x \le 1 - 2$
$-3 \le -3x \le -1$
Делим на -3 и меняем знаки неравенства:
$1 \ge x \ge \frac{1}{3}$, то есть $\frac{1}{3} \le x \le 1$.
Область значений функции $y = \arcsin(t)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Из неравенства $\arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$ и области значений следует, что $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(2 - 3x) < \frac{\pi}{4}$.
Функция $y = \sin(t)$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Применим синус ко всем частям двойного неравенства, сохраняя знаки неравенства:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) \le \sin(\arcsin(2 - 3x)) < \sin(\frac{\pi}{4})$
$-1 \le 2 - 3x < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} 2 - 3x \ge -1 \\ 2 - 3x < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решим эту систему:
1) $2 - 3x \ge -1 \implies -3x \ge -3 \implies x \le 1$
2) $2 - 3x < \frac{\sqrt{2}}{2} \implies -3x < \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \implies -3x < \frac{\sqrt{2} - 4}{2} \implies x > \frac{4 - \sqrt{2}}{6}$
Объединяя результаты, получаем: $\frac{4 - \sqrt{2}}{6} < x \le 1$.
Теперь найдём пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [\frac{1}{3}, 1]$.
Сравним $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $4 - \sqrt{2} > 4 - 2 = 2$, то $\frac{4 - \sqrt{2}}{6} > \frac{2}{6}$.
Следовательно, пересечением является интервал $(\frac{4 - \sqrt{2}}{6}, 1]$.
Ответ: $x \in (\frac{4 - \sqrt{2}}{6}, 1]$.

3) $\arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для арккосинуса:
$-1 \le 4 - 7x \le 1$
$-1 - 4 \le -7x \le 1 - 4$
$-5 \le -7x \le -3$
Делим на -7 и меняем знаки неравенства:
$\frac{5}{7} \ge x \ge \frac{3}{7}$, то есть $\frac{3}{7} \le x \le \frac{5}{7}$.
Область значений функции $y = \arccos(t)$ — это отрезок $[0, \pi]$.
Из неравенства $\arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$ и области значений следует, что $0 \le \arccos(4 - 7x) < \frac{5\pi}{6}$.
Функция $y = \cos(t)$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\cos(0) \ge \cos(\arccos(4 - 7x)) > \cos(\frac{5\pi}{6})$
$1 \ge 4 - 7x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} 4 - 7x \le 1 \\ 4 - 7x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
Решим эту систему:
1) $4 - 7x \le 1 \implies -7x \le -3 \implies x \ge \frac{3}{7}$
2) $4 - 7x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies -7x > -4 - \frac{\sqrt{3}}{2} \implies -7x > -\frac{8 + \sqrt{3}}{2} \implies x < \frac{8 + \sqrt{3}}{14}$
Объединяя результаты, получаем: $\frac{3}{7} \le x < \frac{8 + \sqrt{3}}{14}$.
Теперь найдём пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [\frac{3}{7}, \frac{5}{7}]$.
Сравним $\frac{8 + \sqrt{3}}{14}$ и $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$. Так как $\sqrt{3} < 2$, то $8 + \sqrt{3} < 8 + 2 = 10$. Следовательно, $\frac{8 + \sqrt{3}}{14} < \frac{10}{14}$.
Сравним $\frac{8 + \sqrt{3}}{14}$ и $\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$. Так как $8 + \sqrt{3} > 6$, то $\frac{8 + \sqrt{3}}{14} > \frac{6}{14}$.
Таким образом, найденный интервал $[\frac{3}{7}, \frac{8 + \sqrt{3}}{14})$ находится внутри ОДЗ.
Ответ: $x \in [\frac{3}{7}, \frac{8 + \sqrt{3}}{14})$.