Номер 31.34, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.34. Постройте график функции:

1) $y = \cos(\arccos x);$

2) $y = \sin(\arccos x);$

3) $y = \cos(2\arccos x);$

4) $y = \cos(\arcsin x + \arccos x).$

1) $y = \cos(\arccos x)$

Область определения функции задается областью определения арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

По определению арккосинуса, для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$ выполняется равенство $\cos(\arccos x) = x$.

Таким образом, мы получаем функцию $y = x$, определенную на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является отрезок прямой линии, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y = x$ при $x \in [-1, 1]$.

2) $y = \sin(\arccos x)$

Область определения функции: $D(y) = [-1, 1]$.

Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению, это означает, что $\cos \alpha = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам необходимо выразить $\sin(\arccos x) = \sin \alpha$ через $x$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Отсюда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - x^2$.

Так как $\alpha$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то $\sin \alpha$ на этом отрезке неотрицателен, то есть $\sin \alpha \ge 0$.

Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{1 - x^2}$.

Итак, исходная функция имеет вид $y = \sqrt{1 - x^2}$.

График этой функции — верхняя половина окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $1$, так как уравнение $y = \sqrt{1 - x^2}$ эквивалентно системе $x^2 + y^2 = 1$ и $y \ge 0$.

Ответ: График функции — это верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 1$ при $y \ge 0$.

3) $y = \cos(2\arccos x)$

Область определения функции: $D(y) = [-1, 1]$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Пусть $\alpha = \arccos x$, тогда $\cos \alpha = x$.

Подставим это в формулу:

$y = \cos(2\arccos x) = 2\cos^2(\arccos x) - 1 = 2(\cos(\arccos x))^2 - 1 = 2x^2 - 1$.

Мы получили функцию $y = 2x^2 - 1$, которая рассматривается на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — это часть параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -1)$.

Найдем значения на концах отрезка:

при $x = -1, y = 2(-1)^2 - 1 = 1$;

при $x = 1, y = 2(1)^2 - 1 = 1$.

Таким образом, график представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, 1)$, $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции — это часть параболы $y = 2x^2 - 1$ при $x \in [-1, 1]$.

4) $y = \cos(\arcsin x + \arccos x)$

Область определения функции является пересечением областей определения $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

Используем известное тождество для обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для всех $x \in [-1, 1]$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, то функция упрощается до $y = 0$.

Таким образом, график функции — это отрезок горизонтальной прямой $y = 0$ при $x \in [-1, 1]$.

Это отрезок оси абсцисс от точки $(-1, 0)$ до точки $(1, 0)$.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y = 0$ при $x \in [-1, 1]$.