Номер 31.41, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.41. Вычислите:

1) $ \arccos\left(\cos\frac{11\pi}{9}\right); $

2) $ \arccos(\cos 6,28); $

3) $ \arccos(\sin 12); $

4) $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{15\pi}{11}\right); $

5) $ \operatorname{arcctg}(\operatorname{tg} 10). $

1) Для вычисления значения выражения $\arccos(\cos\frac{11\pi}{9})$ воспользуемся определением арккосинуса. Область значений функции $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[0, \pi]$.

Аргумент косинуса $\frac{11\pi}{9}$ не принадлежит этому отрезку, так как $\frac{11\pi}{9} > \pi$.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, чтобы $\cos(\alpha) = \cos(\frac{11\pi}{9})$.

Используем свойство периодичности и четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(x - 2\pi) = \cos(2\pi - x)$.

Преобразуем аргумент: $\cos(\frac{11\pi}{9}) = \cos(2\pi - \frac{11\pi}{9}) = \cos(\frac{18\pi - 11\pi}{9}) = \cos(\frac{7\pi}{9})$.

Число $\frac{7\pi}{9}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $0 \le \frac{7}{9} \le 1$.

Таким образом, $\arccos(\cos\frac{11\pi}{9}) = \arccos(\cos\frac{7\pi}{9}) = \frac{7\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$

2) Для вычисления значения выражения $\arccos(\cos 6,28)$ учтем, что область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Аргумент косинуса $6,28$ не принадлежит этому отрезку, так как $6,28 > \pi$.

Используем формулу $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.

$\cos(6,28) = \cos(2\pi - 6,28)$.

Так как $2\pi \approx 6,2832$, то значение $2\pi - 6,28$ является малым положительным числом, которое очевидно принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Следовательно, $\arccos(\cos 6,28) = \arccos(\cos(2\pi - 6,28)) = 2\pi - 6,28$.

Ответ: $2\pi - 6,28$

3) Для вычисления значения выражения $\arccos(\sin 12)$ сначала преобразуем синус в косинус, используя формулу приведения: $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\arccos(\sin 12) = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 12))$.

Область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Аргумент $\frac{\pi}{2} - 12 \approx 1,57 - 12 = -10,43$ не принадлежит этому отрезку.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, чтобы $\cos(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - 12)$.

Используем свойства косинуса: $\cos(x) = \cos(-x)$ и $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.

$\cos(\frac{\pi}{2} - 12) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 12)) = \cos(12 - \frac{\pi}{2})$.

Значение $12 - \frac{\pi}{2} \approx 12 - 1,57 = 10,43$ также не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Подберем такое целое $k$, чтобы значение выражения $12 - \frac{\pi}{2} - 2k\pi$ или $-(12 - \frac{\pi}{2}) + 2k\pi$ попало в отрезок $[0, \pi]$.

Рассмотрим выражение $\alpha = \frac{\pi}{2} - 12 + 2k\pi$. Найдем $k$, чтобы $0 \le \frac{\pi}{2} - 12 + 2k\pi \le \pi$.

$12 - \frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le 12 + \frac{\pi}{2}$

$\frac{6}{\pi} - \frac{1}{4} \le k \le \frac{6}{\pi} + \frac{1}{4}$

$\frac{6}{3,14} - 0,25 \le k \le \frac{6}{3,14} + 0,25 \implies 1,91 - 0,25 \le k \le 1,91 + 0,25 \implies 1,66 \le k \le 2,16$.

Единственное целое значение в этом промежутке — это $k=2$.

Подставляем $k=2$ и получаем $\alpha = \frac{\pi}{2} - 12 + 2 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} - 12 + 4\pi = \frac{9\pi}{2} - 12$.

Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $\frac{9\pi}{2} - 12 \approx \frac{9 \cdot 3,14}{2} - 12 \approx 14,13 - 12 = 2,13$, и $0 \le 2,13 \le 3,14$.

Ответ: $\frac{9\pi}{2} - 12$

4) Для вычисления значения выражения $\arcctg(\ctg\frac{15\pi}{11})$ воспользуемся определением арккотангенса. Область значений функции $y = \arcctg(x)$ — это интервал $(0, \pi)$.

Аргумент котангенса $\frac{15\pi}{11}$ не принадлежит этому интервалу, так как $\frac{15\pi}{11} > \pi$.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in (0, \pi)$, чтобы $\ctg(\alpha) = \ctg(\frac{15\pi}{11})$.

Используем свойство периодичности котангенса $\ctg(x) = \ctg(x - k\pi)$, где $k$ — целое число.

При $k=1$: $\ctg(\frac{15\pi}{11}) = \ctg(\frac{15\pi}{11} - \pi) = \ctg(\frac{4\pi}{11})$.

Число $\frac{4\pi}{11}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Таким образом, $\arcctg(\ctg\frac{15\pi}{11}) = \arcctg(\ctg\frac{4\pi}{11}) = \frac{4\pi}{11}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{11}$

5) Для вычисления значения выражения $\arcctg(\tg 10)$ сначала преобразуем тангенс в котангенс, используя формулу приведения: $\tg(x) = \ctg(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\arcctg(\tg 10) = \arcctg(\ctg(\frac{\pi}{2} - 10))$.

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Аргумент $\frac{\pi}{2} - 10 \approx 1,57 - 10 = -8,43$ не принадлежит этому интервалу.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in (0, \pi)$, чтобы $\ctg(\alpha) = \ctg(\frac{\pi}{2} - 10)$.

Используем свойство периодичности котангенса $\ctg(x) = \ctg(x + k\pi)$, где $k$ — целое число.

Подберем $k$ так, чтобы значение $\alpha = \frac{\pi}{2} - 10 + k\pi$ попало в интервал $(0, \pi)$.

$0 < \frac{\pi}{2} - 10 + k\pi < \pi$

$10 - \frac{\pi}{2} < k\pi < 10 + \frac{\pi}{2}$

$\frac{10}{\pi} - \frac{1}{2} < k < \frac{10}{\pi} + \frac{1}{2}$

$\frac{10}{3,14} - 0,5 < k < \frac{10}{3,14} + 0,5 \implies 3,18 - 0,5 < k < 3,18 + 0,5 \implies 2,68 < k < 3,68$.

Единственное целое значение в этом промежутке — это $k=3$.

Подставляем $k=3$ и получаем $\alpha = \frac{\pi}{2} - 10 + 3\pi = \frac{7\pi}{2} - 10$.

Это значение принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $\frac{7\pi}{2} - 10 \approx \frac{7 \cdot 3,14}{2} - 10 \approx 10,99 - 10 = 0,99$, и $0 < 0,99 < 3,14$.

Ответ: $\frac{7\pi}{2} - 10$