Номер 31.44, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.44. Докажите, что $ \arcsin \frac{3}{5} + \arcsin \frac{5}{13} = \arcsin \frac{56}{65}. $

Для доказательства равенства обозначим $ \alpha = \arcsin\frac{3}{5} $ и $ \beta = \arcsin\frac{5}{13} $.
Наша задача — доказать, что $ \alpha + \beta = \arcsin\frac{56}{65} $.

По определению арксинуса:
Из $ \alpha = \arcsin\frac{3}{5} $ следует, что $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{3}{5} > 0 $, то угол $ \alpha $ находится в первой четверти: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Из $ \beta = \arcsin\frac{5}{13} $ следует, что $ \sin\beta = \frac{5}{13} $ и $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{5}{13} > 0 $, то угол $ \beta $ также находится в первой четверти: $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

Для доказательства тождества найдем синус левой части, то есть $ \sin(\alpha + \beta) $.
Воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

Сначала найдем значения $ \cos\alpha $ и $ \cos\beta $. Так как $ \alpha $ и $ \beta $ — углы первой четверти, их косинусы положительны. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.
$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Теперь подставим найденные значения в формулу синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65} $.

Мы получили, что $ \sin(\alpha + \beta) = \frac{56}{65} $.
Теперь необходимо убедиться, что угол $ \alpha + \beta $ находится в области значений функции арксинус, то есть в интервале $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Поскольку $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $, то их сумма находится в пределах $ 0 < \alpha + \beta < \pi $.
Чтобы уточнить диапазон, найдем $ \cos(\alpha + \beta) $ по формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65} $.
Так как $ \cos(\alpha + \beta) > 0 $, угол $ \alpha + \beta $ не может находиться во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi $). Следовательно, $ 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} $.

Итак, мы имеем $ \sin(\alpha + \beta) = \frac{56}{65} $ и $ 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} $.
Так как угол $ \alpha + \beta $ попадает в область значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, из равенства $ \sin(\alpha + \beta) = \frac{56}{65} $ следует, что $ \alpha + \beta = \arcsin\frac{56}{65} $.
Заменив $ \alpha $ и $ \beta $ их исходными выражениями, получаем:
$ \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{5}{13} = \arcsin\frac{56}{65} $.
Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.