Номер 31.40, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.40. Вычислите:

1) $\arcsin \left(\sin \frac{4\pi}{7}\right)$;

2) $\arcsin (\sin 3)$;

3) $\arcsin (\cos 8)$;

4) $\text{arctg} \left(\text{tg} \frac{10\pi}{13}\right)$;

5) $\text{arctg} (\text{tg} 5)$;

6) $\text{arctg} \left(\text{ctg} \frac{13\pi}{21}\right)$.

1) $ \arcsin\left(\sin\frac{4\pi}{7}\right) $

По определению, область значений функции арксинус — это отрезок $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Значение $ \frac{4\pi}{7} $ не принадлежит этому отрезку, так как $ \frac{4\pi}{7} > \frac{\pi}{2} $. Для решения необходимо найти такое число $ x $, чтобы $ x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и $ \sin x = \sin\frac{4\pi}{7} $. Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $. $ \sin\frac{4\pi}{7} = \sin\left(\pi - \frac{4\pi}{7}\right) = \sin\frac{3\pi}{7} $. Угол $ \frac{3\pi}{7} $ принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, так как $ -\frac{3.5\pi}{7} \le \frac{3\pi}{7} \le \frac{3.5\pi}{7} $. Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\frac{4\pi}{7}\right) = \arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{7}\right) = \frac{3\pi}{7} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{7} $.

2) $ \arcsin(\sin 3) $

Область значений функции арксинус — $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Приближенно это $ [-1.57, 1.57] $. Число 3 не принадлежит этому отрезку. Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $. $ \sin 3 = \sin(\pi - 3) $. Значение $ \pi - 3 \approx 3.14159 - 3 = 0.14159 $ принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Следовательно, $ \arcsin(\sin 3) = \arcsin(\sin(\pi - 3)) = \pi - 3 $.

Ответ: $ \pi - 3 $.

3) $ \arcsin(\cos 8) $

Сначала преобразуем косинус в синус, используя формулу $ \cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. $ \cos 8 = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\right) $. Таким образом, $ \arcsin(\cos 8) = \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\right)\right) $. Аргумент $ \frac{\pi}{2} - 8 \approx 1.57 - 8 = -6.43 $ не принадлежит области значений арксинуса $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Используем периодичность синуса $ \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) $ для нахождения эквивалентного угла в нужном диапазоне. Найдем целое $ k $, для которого $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - 8 + 2k\pi \le \frac{\pi}{2} $. $ -\pi \le -8 + 2k\pi \le 0 \implies 8 - \pi \le 2k\pi \le 8 \implies \frac{4}{\pi} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{4}{\pi} $. Приблизительно: $ 1.27 - 0.5 \le k \le 1.27 \implies 0.77 \le k \le 1.27 $. Единственное целое $ k $ в этом интервале — это $ k=1 $. Искомый угол равен $ \frac{\pi}{2} - 8 + 2(1)\pi = \frac{5\pi}{2} - 8 $. Это значение находится в диапазоне $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\right)\right) = \frac{5\pi}{2} - 8 $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{2} - 8 $.

4) $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{10\pi}{13}\right) $

Область значений функции арктангенс — это интервал $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $. Значение $ \frac{10\pi}{13} $ не принадлежит этому интервалу, так как $ \frac{10\pi}{13} > \frac{\pi}{2} $. Используем периодичность тангенса $ \operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi) $, где $ k $ — целое число. При $ k=-1 $: $ \frac{10\pi}{13} - \pi = \frac{10\pi - 13\pi}{13} = -\frac{3\pi}{13} $. Значение $ -\frac{3\pi}{13} $ принадлежит интервалу $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, так как $ -\frac{6.5\pi}{13} < -\frac{3\pi}{13} < \frac{6.5\pi}{13} $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{10\pi}{13}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{3\pi}{13}\right)\right) = -\frac{3\pi}{13} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{13} $.

5) $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 5) $

Область значений арктангенса — $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, что примерно равно $ (-1.57, 1.57) $. Число 5 не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность тангенса $ \operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi) $. Найдем целое $ k $ такое, что $ -\frac{\pi}{2} < 5 + k\pi < \frac{\pi}{2} $. $ -\frac{\pi}{2} - 5 < k\pi < \frac{\pi}{2} - 5 \implies -0.5 - \frac{5}{\pi} < k < 0.5 - \frac{5}{\pi} $. Приблизительно: $ -0.5 - 1.59 < k < 0.5 - 1.59 \implies -2.09 < k < -1.09 $. Единственное целое $ k $ в этом интервале — это $ k=-2 $. Искомое значение равно $ 5 - 2\pi $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 5) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi $.

Ответ: $ 5 - 2\pi $.

6) $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{13\pi}{21}\right) $

Используем формулу приведения $ \operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. $ \operatorname{ctg}\frac{13\pi}{21} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{13\pi}{21}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{21\pi - 26\pi}{42}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{42}\right) $. Выражение принимает вид $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{42}\right)\right) $. Значение $ -\frac{5\pi}{42} $ принадлежит области значений арктангенса $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, так как $ -\frac{21\pi}{42} < -\frac{5\pi}{42} < \frac{21\pi}{42} $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{42}\right)\right) = -\frac{5\pi}{42} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{42} $.