Номер 31.33, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.33. Постройте график функции:

1) $y = \sin(\arcsin x);$

2) $y = \cos(\arcsin x);$

3) $y = \cos(2\arcsin x);$

4) $y = \sin(\arcsin x + \arccos x).$

1) y = sin(arcsin x)

Область определения функции $y = \sin(\arcsin x)$ совпадает с областью определения внутренней функции $y = \arcsin x$, то есть $x \in [-1, 1]$.
По определению арксинуса, $\sin(\arcsin x) = x$ для любого $x$ из области определения.
Таким образом, функция сводится к виду $y = x$ на отрезке $[-1, 1]$.
Графиком этой функции является отрезок прямой $y = x$, концы которого находятся в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2) y = cos(arcsin x)

Область определения функции: $x \in [-1, 1]$.
Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Пусть $\alpha = \arcsin x$, тогда $\sin\alpha = x$. Из тождества следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, то есть $\cos^2(\arcsin x) = 1 - x^2$.
Так как по определению $\arcsin x$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, косинус на этом промежутке неотрицателен, то есть $\cos(\arcsin x) \ge 0$.
Следовательно, мы выбираем положительное значение корня: $y = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$.
Уравнение $y = \sqrt{1-x^2}$ (при $y \ge 0$) эквивалентно уравнению $x^2 + y^2 = 1$, которое задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Условие $y \ge 0$ означает, что графиком является верхняя полуокружность.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 1$.

3) y = cos(2arcsin x)

Область определения функции: $x \in [-1, 1]$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Пусть $\alpha = \arcsin x$, тогда $\sin\alpha = x$. Подставив это в формулу, получим:
$y = \cos(2\arcsin x) = 1 - 2\sin^2(\arcsin x) = 1 - 2x^2$.
Функция $y = 1 - 2x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 1)$.
Учитывая область определения $x \in [-1, 1]$, графиком функции будет дуга этой параболы. Найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -1$, $y = 1 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$.
При $x = 1$, $y = 1 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, график - это дуга параболы с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ и вершиной в точке $(0, 1)$.
Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y = 1 - 2x^2$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

4) y = sin(arcsin x + arccos x)

Область определения функции определяется пересечением областей определения $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть $x \in [-1, 1]$.
Воспользуемся известным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1, 1]$.
Подставив это тождество в исходную функцию, получим: $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Таким образом, на всей своей области определения функция тождественно равна 1.
Графиком является отрезок горизонтальной прямой $y = 1$, концы которого находятся в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=1$ с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.