Номер 31.29, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.29. Решите неравенство:

1) $ \arccos(2x - 1) > \frac{\pi}{3}; $

2) $ \arcsin 2x > \frac{\pi}{6}; $

3) $ \arcsin(5 - 3x) < -\frac{\pi}{3}. $

1) $\arccos(2x-1) > \frac{\pi}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для арккосинуса. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно:

$-1 \le 2x-1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$0 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$0 \le x \le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0; 1]$.

Теперь решим исходное неравенство. Функция $y = \cos(t)$ является монотонно убывающей на отрезке $[0; \pi]$, который является областью значений арккосинуса. Поэтому при применении функции косинус к обеим частям неравенства знак неравенства меняется на противоположный.

$\cos(\arccos(2x-1)) < \cos(\frac{\pi}{3})$

$2x-1 < \frac{1}{2}$

$2x < 1 + \frac{1}{2}$

$2x < \frac{3}{2}$

$x < \frac{3}{4}$

Для нахождения окончательного решения необходимо учесть ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x < \frac{3}{4} \\ 0 \le x \le 1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $0 \le x < \frac{3}{4}$.

Ответ: $[0; \frac{3}{4})$.

2) $\arcsin(2x) > \frac{\pi}{6}$

ОДЗ для арксинуса определяется условием:

$-1 \le 2x \le 1$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} < \arcsin(2x) \le \frac{\pi}{2}$

Функция $y = \sin(t)$ является монотонно возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Применим синус ко всем частям двойного неравенства, сохраняя знаки:

$\sin(\frac{\pi}{6}) < \sin(\arcsin(2x)) \le \sin(\frac{\pi}{2})$

$\frac{1}{2} < 2x \le 1$

Разделим все части на 2:

$\frac{1}{4} < x \le \frac{1}{2}$

Полученный интервал полностью входит в ОДЗ $x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, поэтому он и является решением.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}]$.

3) $\arcsin(5-3x) < -\frac{\pi}{3}$

ОДЗ для арксинуса определяется условием:

$-1 \le 5-3x \le 1$

Вычтем 5 из всех частей:

$-1 - 5 \le -3x \le 1 - 5$

$-6 \le -3x \le -4$

Разделим на -3, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-4}{-3} \le x \le \frac{-6}{-3}$

$\frac{4}{3} \le x \le 2$

ОДЗ: $x \in [\frac{4}{3}; 2]$.

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поэтому исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(5-3x) < -\frac{\pi}{3}$

Функция $y = \sin(t)$ является монотонно возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Применим синус ко всем частям, сохраняя знаки неравенств:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) \le \sin(\arcsin(5-3x)) < \sin(-\frac{\pi}{3})$

$-1 \le 5-3x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычтем 5 из всех частей:

$-1 - 5 \le -3x < -\frac{\sqrt{3}}{2} - 5$

$-6 \le -3x < -\frac{10+\sqrt{3}}{2}$

Разделим на -3, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-(10+\sqrt{3})}{2 \cdot (-3)} < x \le \frac{-6}{-3}$

$\frac{10+\sqrt{3}}{6} < x \le 2$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($[\frac{4}{3}; 2]$), так как $\frac{10+\sqrt{3}}{6} \approx \frac{10+1.732}{6} \approx 1.955$, а $\frac{4}{3} \approx 1.333$.

Ответ: $(\frac{10+\sqrt{3}}{6}; 2]$.