Номер 31.31, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.31. Решите неравенство:

1) $ \operatorname{arctg}(5x + 3) > -\frac{\pi}{3} $;

2) $ \operatorname{arcctg}(x - 2) < \frac{5\pi}{6} $.

1) Решим неравенство $arctg(5x + 3) > -\frac{\pi}{3}$.

Область значений функции арктангенс $y = arctg(t)$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поскольку $arctg(5x+3)$ всегда меньше $\frac{\pi}{2}$, данное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$$-\frac{\pi}{3} < arctg(5x + 3) < \frac{\pi}{2}$$

Функция $y = tg(t)$ является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Применим тангенс к неравенству $arctg(5x + 3) > -\frac{\pi}{3}$. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

$$tg(arctg(5x + 3)) > tg(-\frac{\pi}{3})$$

Используя тождество $tg(arctg(a)) = a$ и свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$, получаем:

$$5x + 3 > -tg(\frac{\pi}{3})$$

Поскольку $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, имеем:

$$5x + 3 > -\sqrt{3}$$

$$5x > -3 - \sqrt{3}$$

$$x > \frac{-3 - \sqrt{3}}{5}$$

Правая часть двойного неравенства, $arctg(5x + 3) < \frac{\pi}{2}$, выполняется для любого $x$ из области определения, так как $\frac{\pi}{2}$ является верхней границей множества значений арктангенса, которая не достигается.

Ответ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{3}}{5}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $arcctg(x - 2) < \frac{5\pi}{6}$.

Область значений функции арккотангенс $y = arcctg(t)$ — это интервал $(0; \pi)$. Поскольку $arcctg(x - 2)$ всегда больше $0$, данное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$$0 < arcctg(x - 2) < \frac{5\pi}{6}$$

Функция $y = ctg(t)$ является строго убывающей на интервале $(0; \pi)$. Применим котангенс к неравенству $arcctg(x - 2) < \frac{5\pi}{6}$. Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

$$ctg(arcctg(x - 2)) > ctg(\frac{5\pi}{6})$$

Используя тождество $ctg(arcctg(a)) = a$ и формулу приведения $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:

$$x - 2 > ctg(\pi - \frac{\pi}{6})$$

$$x - 2 > -ctg(\frac{\pi}{6})$$

Поскольку $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, имеем:

$$x - 2 > -\sqrt{3}$$

$$x > 2 - \sqrt{3}$$

Левая часть двойного неравенства, $arcctg(x - 2) > 0$, выполняется для любого $x$ из области определения, так как $0$ является нижней границей множества значений арккотангенса, которая не достигается.

Ответ: $x \in (2 - \sqrt{3}; +\infty)$.