Номер 31.35, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.35. Постройте график функции:

1) $y = \text{tg}(\text{arctg } x)$;

2) $y = \text{ctg}(\text{arctg } x)$.

1) $y = \tg(\arctg x)$
Для построения графика функции $y = \tg(\arctg x)$ сначала найдем ее область определения и упростим выражение.
1. Область определения. Внутренняя функция $\arctg x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Область значений арктангенса - интервал $E(\arctg) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Внешняя функция $\tg(u)$ определена для всех $u$, кроме $u = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку значения $\arctg x$ лежат строго внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и никогда не достигают его границ, то функция $\tg(\arctg x)$ определена для всех $x$, для которых определен $\arctg x$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Упрощение. По определению арктангенса, $\arctg x$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. То есть, если $\alpha = \arctg x$, то $\tg(\alpha) = x$. Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется тождество $\tg(\arctg x) = x$.
3. Построение графика. Мы получили, что данная функция эквивалентна функции $y = x$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси Ox (биссектриса I и III координатных четвертей).

Ответ: График функции — это прямая $y = x$.

2) $y = \ctg(\arctg x)$
Аналогично предыдущему пункту, найдем область определения и упростим выражение для функции $y = \ctg(\arctg x)$.
1. Область определения. Область определения внутренней функции $\arctg x$ — все действительные числа, а область ее значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Внешняя функция $\ctg(u)$ определена для всех $u$, кроме $u = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ попадает одно значение, в котором котангенс не определен, — это $u=0$. Значение $\arctg x = 0$ достигается при $x=0$. Следовательно, исходная функция не определена в точке $x=0$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Упрощение. Пусть $\alpha = \arctg x$. Это означает, что $\tg(\alpha) = x$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Нам нужно найти $y = \ctg(\alpha)$. Известно, что $\ctg(\alpha) = \frac{1}{\tg(\alpha)}$. Подставив $\tg(\alpha) = x$, получаем $y = \frac{1}{x}$. Это равенство верно для всех $x$ из области определения функции, то есть при $x \neq 0$.
3. Построение графика. Мы получили, что данная функция эквивалентна функции $y = \frac{1}{x}$ при $x \neq 0$. Графиком этой функции является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Ответ: График функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$.