Номер 31.42, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.42. Решите уравнение $(\arcsin x)^2 + (\arccos x)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$.

Исходное уравнение:$$(\arcsin x)^2 + (\arccos x)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$Область допустимых значений для $x$ определяется областью определения функций арксинуса и арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для обратных функций:$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$Из этого тождества выразим $\arccos x$:$$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$$

Подставим это выражение в исходное уравнение:$$(\arcsin x)^2 + \left(\frac{\pi}{2} - \arcsin x\right)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$

Сделаем замену переменной для упрощения. Пусть $y = \arcsin x$. Учитывая область значений арксинуса, $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Уравнение примет вид:$$y^2 + \left(\frac{\pi}{2} - y\right)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$$y^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi y + y^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$$$2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5\pi^2}{36} = 0$$

Приведем дроби к общему знаменателю:$$2y^2 - \pi y + \frac{9\pi^2 - 5\pi^2}{36} = 0$$$$2y^2 - \pi y + \frac{4\pi^2}{36} = 0$$$$2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{9} = 0$$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. Вычислим дискриминант $D$:$$D = b^2 - 4ac = (-\pi)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{\pi^2}{9} = \pi^2 - \frac{8\pi^2}{9} = \frac{9\pi^2 - 8\pi^2}{9} = \frac{\pi^2}{9}$$Найдем корни уравнения:$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\pi \pm \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}}{2 \cdot 2} = \frac{\pi \pm \frac{\pi}{3}}{4}$$

Получаем два возможных значения для $y$:$$y_1 = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{4} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{4} = \frac{\pi}{3}$$$$y_2 = \frac{\pi - \frac{\pi}{3}}{4} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{4} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

Оба найденных значения $y_1 = \frac{\pi}{3}$ и $y_2 = \frac{\pi}{6}$ принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, который является областью значений арксинуса. Следовательно, оба решения для $y$ подходят.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $y = \frac{\pi}{3}$, то:$$\arcsin x = \frac{\pi}{3}$$$$x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Если $y = \frac{\pi}{6}$, то:$$\arcsin x = \frac{\pi}{6}$$$$x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Оба значения $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$ принадлежат области допустимых значений $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}$.