Номер 32.1, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.1. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0;$

2) $4\cos 2x - \sin 2x = 0;$

3) $\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 0;$

4) $3\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0.$

1) Дано уравнение $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sqrt{3}\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, поскольку основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ не будет выполняться. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sqrt{3}\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $4\cos 2x - \sin 2x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени с аргументом $2x$. Как и в предыдущем задании, $\cos 2x \neq 0$, так как в противном случае и $\sin 2x$ должен был бы равняться нулю, что невозможно. Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$:
$\frac{4\cos 2x}{\cos 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 0$
$4 - \tan 2x = 0$
$\tan 2x = 4$
Отсюда находим $2x$:
$2x = \arctan(4) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 2, получим $x$:
$x = \frac{1}{2}\arctan(4) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(4) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, уравнение принимает вид $\sin^2 x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{4\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - 5\tan x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену $t = \tan x$:
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Аналогично предыдущему заданию, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0$
$3\tan^2 x - 2\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(\sqrt{3}\tan x - 1)^2 = 0$
Отсюда следует:
$\sqrt{3}\tan x - 1 = 0$
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Находим $x$:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.