Номер 32.2, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.2. Решите уравнение:

1) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$;

2) $2\sin x + \cos x = 0$;

3) $\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 0$;

4) $4\sin^2 x = 3\sin x \cos x + \cos^2 x$.

1) Дано уравнение $sin x - \sqrt{3} cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, нужно разделить обе части на $cos x$.
Предварительно убедимся, что $cos x \neq 0$. Если предположить, что $cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $sin^2 x + cos^2 x = 1$ следует, что $sin^2 x = 1$, то есть $sin x = \pm 1$. Подставив $cos x = 0$ и $sin x = \pm 1$ в исходное уравнение, получим: $(\pm 1) - \sqrt{3} \cdot 0 = \pm 1 \neq 0$. Следовательно, $cos x$ не может быть равен нулю.
Разделим обе части уравнения на $cos x$:
$\frac{sin x}{cos x} - \frac{\sqrt{3} cos x}{cos x} = 0$
$tan x - \sqrt{3} = 0$
$tan x = \sqrt{3}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = arctan(\sqrt{3}) + \pi n, n \in Z$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

2) Дано уравнение $2sin x + cos x = 0$.
Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. По аналогии с предыдущим примером, проверим случай $cos x = 0$. Если $cos x = 0$, то $sin x = \pm 1$. Подстановка в уравнение дает: $2(\pm 1) + 0 = \pm 2 \neq 0$. Значит, $cos x \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $cos x$:
$\frac{2sin x}{cos x} + \frac{cos x}{cos x} = 0$
$2tan x + 1 = 0$
$2tan x = -1$
$tan x = -\frac{1}{2}$
Общее решение:
$x = arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z$
Используя свойство $arctan(-a) = -arctan(a)$, можно записать ответ как $x = -arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = -arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z$.

3) Дано уравнение $sin^2 x - 5sin x cos x + 6cos^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай $cos x = 0$. Если $cos x = 0$, то уравнение принимает вид $sin^2 x - 0 + 0 = 0$, то есть $sin x = 0$. Но $sin x$ и $cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Следовательно, $cos x \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $cos^2 x$.
$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} - \frac{5sin x cos x}{cos^2 x} + \frac{6cos^2 x}{cos^2 x} = 0$
$tan^2 x - 5tan x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $tan x$. Сделаем замену $t = tan x$:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Возвращаемся к замене:
1) $tan x = 2 \implies x = arctan(2) + \pi n, n \in Z$.
2) $tan x = 3 \implies x = arctan(3) + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = arctan(2) + \pi n, n \in Z$; $x = arctan(3) + \pi k, k \in Z$.

4) Дано уравнение $4sin^2 x = 3sin x cos x + cos^2 x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$4sin^2 x - 3sin x cos x - cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Как и в пункте 3, случай $cos x = 0$ невозможен. Разделим обе части уравнения на $cos^2 x$:
$\frac{4sin^2 x}{cos^2 x} - \frac{3sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{cos^2 x}{cos^2 x} = 0$
$4tan^2 x - 3tan x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = tan x$:
$4t^2 - 3t - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{8}$
Получаем два корня:
$t_1 = \frac{3+5}{8} = 1$
$t_2 = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$
Возвращаемся к замене:
1) $tan x = 1 \implies x = arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.
2) $tan x = -\frac{1}{4} \implies x = arctan(-\frac{1}{4}) + \pi k = -arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = -arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in Z$.