Номер 31.43, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.43. Решите уравнение $\operatorname{arctg} x \cdot \operatorname{arcctg} x = -\frac{5\pi^2}{18}$.

Исходное уравнение: $arctg x \cdot arcctg x = -\frac{5\pi^2}{18}$.

Область допустимых значений для $x$ — все действительные числа, то есть $x \in R$.

Воспользуемся основным тождеством, связывающим арктангенс и арккотангенс:

$arctg x + arcctg x = \frac{\pi}{2}$

Из этого тождества выразим $arcctg x$ через $arctg x$:

$arcctg x = \frac{\pi}{2} - arctg x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$arctg x \cdot (\frac{\pi}{2} - arctg x) = -\frac{5\pi^2}{18}$

Для удобства решения введем замену. Пусть $y = arctg x$. При этом необходимо учесть область значений функции арктангенс: $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

После замены уравнение принимает вид:

$y \cdot (\frac{\pi}{2} - y) = -\frac{5\pi^2}{18}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду:

$\frac{\pi}{2}y - y^2 = -\frac{5\pi^2}{18}$

$y^2 - \frac{\pi}{2}y - \frac{5\pi^2}{18} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Сначала найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-\frac{\pi}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{5\pi^2}{18}) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{20\pi^2}{18} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{10\pi^2}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 36:

$D = \frac{9\pi^2}{36} + \frac{40\pi^2}{36} = \frac{49\pi^2}{36} = (\frac{7\pi}{6})^2$

Теперь найдем корни уравнения $y_{1,2}$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \sqrt{(\frac{7\pi}{6})^2}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \frac{7\pi}{6}}{2}$

Вычислим каждый корень:

$y_1 = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi + 7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{10\pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{6}$

$y_2 = \frac{\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi - 7\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

1. Для корня $y_1 = \frac{5\pi}{6}$. Так как $\frac{5\pi}{6} > \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, этот корень не входит в область значений функции арктангенс и является посторонним.

2. Для корня $y_2 = -\frac{\pi}{3}$. Условие $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ выполняется, так как $-\frac{3\pi}{6} < -\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6}$. Следовательно, это подходящий корень.

Вернемся к переменной $x$:

$arctg x = -\frac{\pi}{3}$

Отсюда находим $x$:

$x = tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$.