Номер 31.37, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.37. Постройте график функции $y = \arccos(\cos x)$.

Для построения графика функции $y = \arccos(\cos x)$ проанализируем её свойства. Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как функция $\cos x$ определена для всех $x$ и её значения $[-1, 1]$ входят в область определения арккосинуса. Область значений функции $E(y) = [0, \pi]$, что соответствует области значений арккосинуса.

Функция является периодической. Её период совпадает с периодом функции $\cos x$ и равен $2\pi$, так как $y(x + 2\pi) = \arccos(\cos(x + 2\pi)) = \arccos(\cos x) = y(x)$. Это позволяет нам построить график на любом отрезке длиной $2\pi$ и затем повторить его на всей числовой оси.

Функция также является четной, поскольку $y(-x) = \arccos(\cos(-x)) = \arccos(\cos x) = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (OY).

Рассмотрим поведение функции на отрезке $[0, \pi]$. По определению арккосинуса, $y = \arccos(\cos x)$ есть такое число из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\cos x$. Если $x \in [0, \pi]$, то таким числом является само $x$. Следовательно, на отрезке $[0, \pi]$ функция имеет вид $y = x$. Графиком на этом участке является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(\pi, \pi)$.

Используя свойство четности, мы можем определить вид функции на отрезке $[-\pi, 0]$. График на этом участке будет симметричен графику на $[0, \pi]$ относительно оси OY, то есть будет иметь вид $y = -x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi, \pi)$ и $(0, 0)$. Таким образом, на периоде $[-\pi, \pi]$ график функции представляет собой ломаную линию, проходящую через точки $(-\pi, \pi)$, $(0, 0)$ и $(\pi, \pi)$.

В силу периодичности функции с периодом $2\pi$, полученный на отрезке $[-\pi, \pi]$ фрагмент графика повторяется вдоль всей оси OX.

Итоговый график представляет собой треугольную волну. Ключевые точки графика:

• Минимальные значения $y=0$ достигаются в точках $x = 2k\pi$ (например, $\dots, -2\pi, 0, 2\pi, \dots$).
• Максимальные значения $y=\pi$ достигаются в точках $x = (2k+1)\pi$ (например, $\dots, -\pi, \pi, 3\pi, \dots$).

График состоит из прямолинейных отрезков с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$. Например, на отрезке $[0, 2\pi]$ он состоит из отрезка прямой $y=x$ от $(0,0)$ до $(\pi, \pi)$ и отрезка прямой $y=2\pi-x$ от $(\pi, \pi)$ до $(2\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = \arccos(\cos x)$ — это периодическая ломаная линия (треугольная волна) с периодом $2\pi$. На отрезке $[0, 2\pi]$ график состоит из двух отрезков прямых: $y=x$ на $[0, \pi]$ и $y=2\pi-x$ на $[\pi, 2\pi]$. Вершины "зубцов" волны направлены вверх и имеют координаты $((2k+1)\pi, \pi)$, а основания лежат на оси абсцисс в точках $(2k\pi, 0)$, где $k$ - любое целое число.