Страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.32. Решите неравенство $\text{arcctg}(3x - 7) > \frac{2\pi}{3}$.

Для решения неравенства воспользуемся свойствами функции арккотангенс.

Исходное неравенство:

$$ \mathrm{arcctg}(3x - 7) > \frac{2\pi}{3} $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккотангенс может быть любым действительным числом, поэтому для выражения $3x - 7$ нет никаких ограничений. Следовательно, $x \in \mathbb{R}$.

2. Область значений функции $y = \mathrm{arcctg}(t)$ — это интервал $(0; \pi)$. Значение $\frac{2\pi}{3}$ входит в этот интервал, так как $0 < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Это означает, что неравенство имеет решения.

3. Функция $y = \mathrm{arcctg}(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Это означает, что если $\mathrm{arcctg}(a) > \mathrm{arcctg}(b)$, то из этого следует, что $a < b$.

Применим это свойство к нашему неравенству. Для этого представим правую часть неравенства также в виде арккотангенса некоторого числа. Найдем число $a$, такое что $\mathrm{arcctg}(a) = \frac{2\pi}{3}$.

$$ a = \mathrm{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) $$

Вычислим значение котангенса:

$$ \mathrm{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \mathrm{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$$ \mathrm{arcctg}(3x - 7) > \mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

Поскольку функция $\mathrm{arcctg}$ убывающая, мы можем перейти к неравенству для ее аргументов, изменив знак неравенства на противоположный:

$$ 3x - 7 < -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

Прибавим 7 к обеим частям:

$$ 3x < 7 - \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Разделим обе части на 3:

$$ x < \frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} $$

$$ x < \frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} $$

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, которые меньше, чем $\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

31.33. Постройте график функции:

1) $y = \sin(\arcsin x);$

2) $y = \cos(\arcsin x);$

3) $y = \cos(2\arcsin x);$

4) $y = \sin(\arcsin x + \arccos x).$

1) y = sin(arcsin x)

Область определения функции $y = \sin(\arcsin x)$ совпадает с областью определения внутренней функции $y = \arcsin x$, то есть $x \in [-1, 1]$.
По определению арксинуса, $\sin(\arcsin x) = x$ для любого $x$ из области определения.
Таким образом, функция сводится к виду $y = x$ на отрезке $[-1, 1]$.
Графиком этой функции является отрезок прямой $y = x$, концы которого находятся в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2) y = cos(arcsin x)

Область определения функции: $x \in [-1, 1]$.
Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Пусть $\alpha = \arcsin x$, тогда $\sin\alpha = x$. Из тождества следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, то есть $\cos^2(\arcsin x) = 1 - x^2$.
Так как по определению $\arcsin x$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, косинус на этом промежутке неотрицателен, то есть $\cos(\arcsin x) \ge 0$.
Следовательно, мы выбираем положительное значение корня: $y = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$.
Уравнение $y = \sqrt{1-x^2}$ (при $y \ge 0$) эквивалентно уравнению $x^2 + y^2 = 1$, которое задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Условие $y \ge 0$ означает, что графиком является верхняя полуокружность.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 1$.

3) y = cos(2arcsin x)

Область определения функции: $x \in [-1, 1]$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Пусть $\alpha = \arcsin x$, тогда $\sin\alpha = x$. Подставив это в формулу, получим:
$y = \cos(2\arcsin x) = 1 - 2\sin^2(\arcsin x) = 1 - 2x^2$.
Функция $y = 1 - 2x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 1)$.
Учитывая область определения $x \in [-1, 1]$, графиком функции будет дуга этой параболы. Найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -1$, $y = 1 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$.
При $x = 1$, $y = 1 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, график - это дуга параболы с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ и вершиной в точке $(0, 1)$.
Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y = 1 - 2x^2$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

4) y = sin(arcsin x + arccos x)

Область определения функции определяется пересечением областей определения $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть $x \in [-1, 1]$.
Воспользуемся известным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1, 1]$.
Подставив это тождество в исходную функцию, получим: $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Таким образом, на всей своей области определения функция тождественно равна 1.
Графиком является отрезок горизонтальной прямой $y = 1$, концы которого находятся в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=1$ с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

31.34. Постройте график функции:

1) $y = \cos(\arccos x);$

2) $y = \sin(\arccos x);$

3) $y = \cos(2\arccos x);$

4) $y = \cos(\arcsin x + \arccos x).$

1) $y = \cos(\arccos x)$

Область определения функции задается областью определения арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

По определению арккосинуса, для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$ выполняется равенство $\cos(\arccos x) = x$.

Таким образом, мы получаем функцию $y = x$, определенную на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является отрезок прямой линии, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y = x$ при $x \in [-1, 1]$.

2) $y = \sin(\arccos x)$

Область определения функции: $D(y) = [-1, 1]$.

Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению, это означает, что $\cos \alpha = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам необходимо выразить $\sin(\arccos x) = \sin \alpha$ через $x$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Отсюда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - x^2$.

Так как $\alpha$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то $\sin \alpha$ на этом отрезке неотрицателен, то есть $\sin \alpha \ge 0$.

Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{1 - x^2}$.

Итак, исходная функция имеет вид $y = \sqrt{1 - x^2}$.

График этой функции — верхняя половина окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $1$, так как уравнение $y = \sqrt{1 - x^2}$ эквивалентно системе $x^2 + y^2 = 1$ и $y \ge 0$.

Ответ: График функции — это верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 1$ при $y \ge 0$.

3) $y = \cos(2\arccos x)$

Область определения функции: $D(y) = [-1, 1]$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Пусть $\alpha = \arccos x$, тогда $\cos \alpha = x$.

Подставим это в формулу:

$y = \cos(2\arccos x) = 2\cos^2(\arccos x) - 1 = 2(\cos(\arccos x))^2 - 1 = 2x^2 - 1$.

Мы получили функцию $y = 2x^2 - 1$, которая рассматривается на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — это часть параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -1)$.

Найдем значения на концах отрезка:

при $x = -1, y = 2(-1)^2 - 1 = 1$;

при $x = 1, y = 2(1)^2 - 1 = 1$.

Таким образом, график представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, 1)$, $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции — это часть параболы $y = 2x^2 - 1$ при $x \in [-1, 1]$.

4) $y = \cos(\arcsin x + \arccos x)$

Область определения функции является пересечением областей определения $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

Используем известное тождество для обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для всех $x \in [-1, 1]$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, то функция упрощается до $y = 0$.

Таким образом, график функции — это отрезок горизонтальной прямой $y = 0$ при $x \in [-1, 1]$.

Это отрезок оси абсцисс от точки $(-1, 0)$ до точки $(1, 0)$.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y = 0$ при $x \in [-1, 1]$.

31.35. Постройте график функции:

1) $y = \text{tg}(\text{arctg } x)$;

2) $y = \text{ctg}(\text{arctg } x)$.

1) $y = \tg(\arctg x)$
Для построения графика функции $y = \tg(\arctg x)$ сначала найдем ее область определения и упростим выражение.
1. Область определения. Внутренняя функция $\arctg x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Область значений арктангенса - интервал $E(\arctg) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Внешняя функция $\tg(u)$ определена для всех $u$, кроме $u = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку значения $\arctg x$ лежат строго внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и никогда не достигают его границ, то функция $\tg(\arctg x)$ определена для всех $x$, для которых определен $\arctg x$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Упрощение. По определению арктангенса, $\arctg x$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. То есть, если $\alpha = \arctg x$, то $\tg(\alpha) = x$. Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется тождество $\tg(\arctg x) = x$.
3. Построение графика. Мы получили, что данная функция эквивалентна функции $y = x$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси Ox (биссектриса I и III координатных четвертей).

Ответ: График функции — это прямая $y = x$.

2) $y = \ctg(\arctg x)$
Аналогично предыдущему пункту, найдем область определения и упростим выражение для функции $y = \ctg(\arctg x)$.
1. Область определения. Область определения внутренней функции $\arctg x$ — все действительные числа, а область ее значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Внешняя функция $\ctg(u)$ определена для всех $u$, кроме $u = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ попадает одно значение, в котором котангенс не определен, — это $u=0$. Значение $\arctg x = 0$ достигается при $x=0$. Следовательно, исходная функция не определена в точке $x=0$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Упрощение. Пусть $\alpha = \arctg x$. Это означает, что $\tg(\alpha) = x$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Нам нужно найти $y = \ctg(\alpha)$. Известно, что $\ctg(\alpha) = \frac{1}{\tg(\alpha)}$. Подставив $\tg(\alpha) = x$, получаем $y = \frac{1}{x}$. Это равенство верно для всех $x$ из области определения функции, то есть при $x \neq 0$.
3. Построение графика. Мы получили, что данная функция эквивалентна функции $y = \frac{1}{x}$ при $x \neq 0$. Графиком этой функции является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Ответ: График функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$.

31.36. Постройте график функции:

1) $y = \text{ctg}(\text{arcctg}x)$;

2) $y = \text{tg}(\text{arcctg}x)$.

1) $y = \text{ctg}(\text{arcctg } x)$

По определению арккотангенса, $\text{arcctg } x$ — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$. То есть, если $\alpha = \text{arcctg } x$, то $\text{ctg } \alpha = x$.

Область определения функции $\text{arcctg } x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Область значений функции $\text{arcctg } x$ — это интервал $(0, \pi)$. На этом интервале котангенс определен для любого значения.

Следовательно, область определения функции $y = \text{ctg}(\text{arcctg } x)$ — это все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

По основному тождеству для обратных тригонометрических функций, $\text{ctg}(\text{arcctg } x) = x$ для любого $x$ из области определения арккотангенса.

Таким образом, мы получаем функцию $y = x$.

Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox (биссектриса I и III координатных четвертей).

Ответ: Графиком функции $y = \text{ctg}(\text{arcctg } x)$ является прямая $y=x$.

2) $y = \text{tg}(\text{arcctg } x)$

Рассмотрим функцию $y = \text{tg}(\text{arcctg } x)$.

Внутренняя функция $\text{arcctg } x$ определена для всех действительных $x$, а её область значений — интервал $(0, \pi)$.

Внешняя функция $\text{tg}(\alpha)$ не определена в точках $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно исключить из области определения те значения $x$, для которых $\text{arcctg } x$ принимает "запрещенные" значения. В интервале $(0, \pi)$ таким значением является $\frac{\pi}{2}$.

Найдем $x$, при котором $\text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}$.
$x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Следовательно, область определения исходной функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Теперь упростим выражение. Пусть $\alpha = \text{arcctg } x$. Тогда $\text{ctg } \alpha = x$. Нам нужно найти $\text{tg } \alpha$.

Используем известное тождество $\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha}$. Это тождество верно при условии, что $\text{ctg } \alpha \neq 0$ (что соответствует $x \neq 0$) и $\text{tg } \alpha$ определен. Мы уже учли эти условия при нахождении области определения.

Подставляя $\text{ctg } \alpha = x$, получаем: $y = \frac{1}{x}$.

Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Ответ: Графиком функции $y = \text{tg}(\text{arcctg } x)$ является гипербола $y=\frac{1}{x}$.

31.37. Постройте график функции $y = \arccos(\cos x)$.

Для построения графика функции $y = \arccos(\cos x)$ проанализируем её свойства. Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как функция $\cos x$ определена для всех $x$ и её значения $[-1, 1]$ входят в область определения арккосинуса. Область значений функции $E(y) = [0, \pi]$, что соответствует области значений арккосинуса.

Функция является периодической. Её период совпадает с периодом функции $\cos x$ и равен $2\pi$, так как $y(x + 2\pi) = \arccos(\cos(x + 2\pi)) = \arccos(\cos x) = y(x)$. Это позволяет нам построить график на любом отрезке длиной $2\pi$ и затем повторить его на всей числовой оси.

Функция также является четной, поскольку $y(-x) = \arccos(\cos(-x)) = \arccos(\cos x) = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (OY).

Рассмотрим поведение функции на отрезке $[0, \pi]$. По определению арккосинуса, $y = \arccos(\cos x)$ есть такое число из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\cos x$. Если $x \in [0, \pi]$, то таким числом является само $x$. Следовательно, на отрезке $[0, \pi]$ функция имеет вид $y = x$. Графиком на этом участке является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(\pi, \pi)$.

Используя свойство четности, мы можем определить вид функции на отрезке $[-\pi, 0]$. График на этом участке будет симметричен графику на $[0, \pi]$ относительно оси OY, то есть будет иметь вид $y = -x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi, \pi)$ и $(0, 0)$. Таким образом, на периоде $[-\pi, \pi]$ график функции представляет собой ломаную линию, проходящую через точки $(-\pi, \pi)$, $(0, 0)$ и $(\pi, \pi)$.

В силу периодичности функции с периодом $2\pi$, полученный на отрезке $[-\pi, \pi]$ фрагмент графика повторяется вдоль всей оси OX.

Итоговый график представляет собой треугольную волну. Ключевые точки графика:

• Минимальные значения $y=0$ достигаются в точках $x = 2k\pi$ (например, $\dots, -2\pi, 0, 2\pi, \dots$).
• Максимальные значения $y=\pi$ достигаются в точках $x = (2k+1)\pi$ (например, $\dots, -\pi, \pi, 3\pi, \dots$).

График состоит из прямолинейных отрезков с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$. Например, на отрезке $[0, 2\pi]$ он состоит из отрезка прямой $y=x$ от $(0,0)$ до $(\pi, \pi)$ и отрезка прямой $y=2\pi-x$ от $(\pi, \pi)$ до $(2\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = \arccos(\cos x)$ — это периодическая ломаная линия (треугольная волна) с периодом $2\pi$. На отрезке $[0, 2\pi]$ график состоит из двух отрезков прямых: $y=x$ на $[0, \pi]$ и $y=2\pi-x$ на $[\pi, 2\pi]$. Вершины "зубцов" волны направлены вверх и имеют координаты $((2k+1)\pi, \pi)$, а основания лежат на оси абсцисс в точках $(2k\pi, 0)$, где $k$ - любое целое число.

31.38. Постройте график функции $y = \text{arctg}(\text{tg}x)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ проанализируем её свойства.

1. Область определения

Внутренняя функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, при которых $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $D(y)$: $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений

Функция $\operatorname{arctg}(z)$ по определению принимает значения в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\operatorname{tg} x$ может принимать любые действительные значения (от $-\infty$ до $+\infty$), область значений функции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ совпадает с областью значений арктангенса.
Следовательно, область значений функции $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

3. Периодичность

Функция $\operatorname{tg} x$ является периодической с основным периодом $T = \pi$. Проверим периодичность всей функции:
$y(x + \pi) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x + \pi)) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = y(x)$.
Функция периодична с периодом $T = \pi$. Это позволяет нам построить график на одном интервале длиной $\pi$, а затем повторить его на всей числовой оси.

4. Построение графика

Рассмотрим поведение функции на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Для любого $x$ из этого интервала справедливо тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$.
Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ график функции $y$ совпадает с прямой $y = x$.
На концах интервала, в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, функция не определена. Пределы в этих точках (односторонние) равны:
$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \frac{\pi}{2}$
$\lim_{x \to (-\pi/2)^+} \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = -\frac{\pi}{2}$
Это означает, что на графике будут выколотые точки $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Используя периодичность, мы можем определить вид графика на других интервалах. Например, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.
Пусть $x' = x - \pi$. Тогда, если $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то $x' \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x' + \pi)) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x') = x'$.
Подставив обратно $x' = x - \pi$, получаем $y = x - \pi$.
В общем виде, на любом интервале $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ при $k \in \mathbb{Z}$ график функции совпадает с прямой $y = x - k\pi$.

Таким образом, график состоит из бесконечного числа параллельных отрезков с угловым коэффициентом $1$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ происходят разрывы первого рода (скачки), где значение функции "перескакивает" с $\frac{\pi}{2}$ на $-\frac{\pi}{2}$. Весь график заключен в горизонтальной полосе между прямыми $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ представляет собой набор параллельных отрезков прямых. Для каждого целого числа $k$, на интервале $x \in (k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ функция задается уравнением $y = x - k\pi$. Функция является периодической с периодом $\pi$ и имеет разрывы в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

31.39. Постройте график функции $y = \text{arcctg}(\text{ctg } x)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x)$ последовательно проанализируем её свойства.

Сначала найдём область определения и область значений. Внутренняя функция $u = \operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Внешняя функция $y = \operatorname{arcctg} u$ определена для всех действительных значений $u$. Таким образом, область определения функции $y(x)$ есть множество $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений функции $u = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$. Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} u$ — это интервал $(0, \pi)$. Следовательно, область значений исходной функции $E(y) = (0, \pi)$.

Далее, исследуем функцию на периодичность. Функция $\operatorname{ctg} x$ является периодической с основным периодом $\pi$. Проверим периодичность функции $y(x)$:

$y(x + \pi) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(x + \pi)) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = y(x)$.

Следовательно, функция $y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x)$ также является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что достаточно построить её график на любом интервале длиной $\pi$, например на $(0, \pi)$, а затем продолжить его периодически на всю область определения.

Рассмотрим поведение функции на основном интервале $x \in (0, \pi)$. По определению арккотангенса, равенство $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} \alpha) = \alpha$ верно, если $\alpha$ принадлежит главному промежутку значений арккотангенса, то есть $\alpha \in (0, \pi)$. Поскольку в нашем случае $x$ принадлежит этому интервалу, для него выполняется тождество:

$y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$ при $x \in (0, \pi)$.

Таким образом, на интервале $(0, \pi)$ график функции представляет собой отрезок прямой $y=x$ с выколотыми точками на концах: $(0,0)$ и $(\pi, \pi)$.

Используя периодичность, найдём вид функции на других интервалах вида $(\pi n, \pi(n+1))$ для произвольного целого $n$. Пусть $x \in (\pi n, \pi(n+1))$, тогда $x - \pi n \in (0, \pi)$. Обозначим $u = x - \pi n$. Поскольку функция $\operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$, то $\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg}(u + \pi n) = \operatorname{ctg} u$. Тогда:

$y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} u) = u = x - \pi n$.

Итак, на каждом интервале $(\pi n, \pi(n+1))$ график функции совпадает с графиком прямой $y = x - \pi n$. Например, на интервале $(\pi, 2\pi)$ имеем $y = x - \pi$, а на интервале $(-\pi, 0)$ имеем $y = x + \pi$.

Теперь мы можем построить график. Он состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. В точках разрыва $x = \pi n$ найдём односторонние пределы:

$\lim_{x \to \pi n^+} y(x) = \lim_{x \to \pi n^+} (x - \pi n) = 0$.

$\lim_{x \to \pi n^-} y(x) = \lim_{x \to \pi n^-} (x - \pi (n-1)) = \pi n - \pi (n-1) = \pi$.

В каждой точке $x = \pi n$ функция терпит разрыв первого рода. На графике это соответствует выколотым точкам: $(\pi n, 0)$ в начале каждого отрезка и $(\pi n, \pi)$ в конце предыдущего.

Ответ:

График функции $y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x)$ представляет собой совокупность параллельных отрезков. На каждом интервале $(\pi n, \pi(n+1))$, где $n$ — целое число, график является отрезком прямой $y = x - \pi n$ с выколотыми точками на концах. В точках $x = \pi n$ функция не определена и имеет разрывы первого рода. Изображение графика представлено ниже.

31.40. Вычислите:

1) $\arcsin \left(\sin \frac{4\pi}{7}\right)$;

2) $\arcsin (\sin 3)$;

3) $\arcsin (\cos 8)$;

4) $\text{arctg} \left(\text{tg} \frac{10\pi}{13}\right)$;

5) $\text{arctg} (\text{tg} 5)$;

6) $\text{arctg} \left(\text{ctg} \frac{13\pi}{21}\right)$.

1) $ \arcsin\left(\sin\frac{4\pi}{7}\right) $

По определению, область значений функции арксинус — это отрезок $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Значение $ \frac{4\pi}{7} $ не принадлежит этому отрезку, так как $ \frac{4\pi}{7} > \frac{\pi}{2} $. Для решения необходимо найти такое число $ x $, чтобы $ x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и $ \sin x = \sin\frac{4\pi}{7} $. Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $. $ \sin\frac{4\pi}{7} = \sin\left(\pi - \frac{4\pi}{7}\right) = \sin\frac{3\pi}{7} $. Угол $ \frac{3\pi}{7} $ принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, так как $ -\frac{3.5\pi}{7} \le \frac{3\pi}{7} \le \frac{3.5\pi}{7} $. Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\frac{4\pi}{7}\right) = \arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{7}\right) = \frac{3\pi}{7} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{7} $.

2) $ \arcsin(\sin 3) $

Область значений функции арксинус — $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Приближенно это $ [-1.57, 1.57] $. Число 3 не принадлежит этому отрезку. Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $. $ \sin 3 = \sin(\pi - 3) $. Значение $ \pi - 3 \approx 3.14159 - 3 = 0.14159 $ принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Следовательно, $ \arcsin(\sin 3) = \arcsin(\sin(\pi - 3)) = \pi - 3 $.

Ответ: $ \pi - 3 $.

3) $ \arcsin(\cos 8) $

Сначала преобразуем косинус в синус, используя формулу $ \cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. $ \cos 8 = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\right) $. Таким образом, $ \arcsin(\cos 8) = \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\right)\right) $. Аргумент $ \frac{\pi}{2} - 8 \approx 1.57 - 8 = -6.43 $ не принадлежит области значений арксинуса $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Используем периодичность синуса $ \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) $ для нахождения эквивалентного угла в нужном диапазоне. Найдем целое $ k $, для которого $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - 8 + 2k\pi \le \frac{\pi}{2} $. $ -\pi \le -8 + 2k\pi \le 0 \implies 8 - \pi \le 2k\pi \le 8 \implies \frac{4}{\pi} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{4}{\pi} $. Приблизительно: $ 1.27 - 0.5 \le k \le 1.27 \implies 0.77 \le k \le 1.27 $. Единственное целое $ k $ в этом интервале — это $ k=1 $. Искомый угол равен $ \frac{\pi}{2} - 8 + 2(1)\pi = \frac{5\pi}{2} - 8 $. Это значение находится в диапазоне $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\right)\right) = \frac{5\pi}{2} - 8 $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{2} - 8 $.

4) $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{10\pi}{13}\right) $

Область значений функции арктангенс — это интервал $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $. Значение $ \frac{10\pi}{13} $ не принадлежит этому интервалу, так как $ \frac{10\pi}{13} > \frac{\pi}{2} $. Используем периодичность тангенса $ \operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi) $, где $ k $ — целое число. При $ k=-1 $: $ \frac{10\pi}{13} - \pi = \frac{10\pi - 13\pi}{13} = -\frac{3\pi}{13} $. Значение $ -\frac{3\pi}{13} $ принадлежит интервалу $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, так как $ -\frac{6.5\pi}{13} < -\frac{3\pi}{13} < \frac{6.5\pi}{13} $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{10\pi}{13}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{3\pi}{13}\right)\right) = -\frac{3\pi}{13} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{13} $.

5) $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 5) $

Область значений арктангенса — $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, что примерно равно $ (-1.57, 1.57) $. Число 5 не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность тангенса $ \operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi) $. Найдем целое $ k $ такое, что $ -\frac{\pi}{2} < 5 + k\pi < \frac{\pi}{2} $. $ -\frac{\pi}{2} - 5 < k\pi < \frac{\pi}{2} - 5 \implies -0.5 - \frac{5}{\pi} < k < 0.5 - \frac{5}{\pi} $. Приблизительно: $ -0.5 - 1.59 < k < 0.5 - 1.59 \implies -2.09 < k < -1.09 $. Единственное целое $ k $ в этом интервале — это $ k=-2 $. Искомое значение равно $ 5 - 2\pi $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 5) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi $.

Ответ: $ 5 - 2\pi $.

6) $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{13\pi}{21}\right) $

Используем формулу приведения $ \operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. $ \operatorname{ctg}\frac{13\pi}{21} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{13\pi}{21}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{21\pi - 26\pi}{42}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{42}\right) $. Выражение принимает вид $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{42}\right)\right) $. Значение $ -\frac{5\pi}{42} $ принадлежит области значений арктангенса $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, так как $ -\frac{21\pi}{42} < -\frac{5\pi}{42} < \frac{21\pi}{42} $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{42}\right)\right) = -\frac{5\pi}{42} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{42} $.

31.41. Вычислите:

1) $ \arccos\left(\cos\frac{11\pi}{9}\right); $

2) $ \arccos(\cos 6,28); $

3) $ \arccos(\sin 12); $

4) $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{15\pi}{11}\right); $

5) $ \operatorname{arcctg}(\operatorname{tg} 10). $

1) Для вычисления значения выражения $\arccos(\cos\frac{11\pi}{9})$ воспользуемся определением арккосинуса. Область значений функции $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[0, \pi]$.

Аргумент косинуса $\frac{11\pi}{9}$ не принадлежит этому отрезку, так как $\frac{11\pi}{9} > \pi$.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, чтобы $\cos(\alpha) = \cos(\frac{11\pi}{9})$.

Используем свойство периодичности и четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(x - 2\pi) = \cos(2\pi - x)$.

Преобразуем аргумент: $\cos(\frac{11\pi}{9}) = \cos(2\pi - \frac{11\pi}{9}) = \cos(\frac{18\pi - 11\pi}{9}) = \cos(\frac{7\pi}{9})$.

Число $\frac{7\pi}{9}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $0 \le \frac{7}{9} \le 1$.

Таким образом, $\arccos(\cos\frac{11\pi}{9}) = \arccos(\cos\frac{7\pi}{9}) = \frac{7\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$

2) Для вычисления значения выражения $\arccos(\cos 6,28)$ учтем, что область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Аргумент косинуса $6,28$ не принадлежит этому отрезку, так как $6,28 > \pi$.

Используем формулу $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.

$\cos(6,28) = \cos(2\pi - 6,28)$.

Так как $2\pi \approx 6,2832$, то значение $2\pi - 6,28$ является малым положительным числом, которое очевидно принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Следовательно, $\arccos(\cos 6,28) = \arccos(\cos(2\pi - 6,28)) = 2\pi - 6,28$.

Ответ: $2\pi - 6,28$

3) Для вычисления значения выражения $\arccos(\sin 12)$ сначала преобразуем синус в косинус, используя формулу приведения: $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\arccos(\sin 12) = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 12))$.

Область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Аргумент $\frac{\pi}{2} - 12 \approx 1,57 - 12 = -10,43$ не принадлежит этому отрезку.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, чтобы $\cos(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - 12)$.

Используем свойства косинуса: $\cos(x) = \cos(-x)$ и $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$, где $k$ — целое число.

$\cos(\frac{\pi}{2} - 12) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 12)) = \cos(12 - \frac{\pi}{2})$.

Значение $12 - \frac{\pi}{2} \approx 12 - 1,57 = 10,43$ также не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Подберем такое целое $k$, чтобы значение выражения $12 - \frac{\pi}{2} - 2k\pi$ или $-(12 - \frac{\pi}{2}) + 2k\pi$ попало в отрезок $[0, \pi]$.

Рассмотрим выражение $\alpha = \frac{\pi}{2} - 12 + 2k\pi$. Найдем $k$, чтобы $0 \le \frac{\pi}{2} - 12 + 2k\pi \le \pi$.

$12 - \frac{\pi}{2} \le 2k\pi \le 12 + \frac{\pi}{2}$

$\frac{6}{\pi} - \frac{1}{4} \le k \le \frac{6}{\pi} + \frac{1}{4}$

$\frac{6}{3,14} - 0,25 \le k \le \frac{6}{3,14} + 0,25 \implies 1,91 - 0,25 \le k \le 1,91 + 0,25 \implies 1,66 \le k \le 2,16$.

Единственное целое значение в этом промежутке — это $k=2$.

Подставляем $k=2$ и получаем $\alpha = \frac{\pi}{2} - 12 + 2 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} - 12 + 4\pi = \frac{9\pi}{2} - 12$.

Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $\frac{9\pi}{2} - 12 \approx \frac{9 \cdot 3,14}{2} - 12 \approx 14,13 - 12 = 2,13$, и $0 \le 2,13 \le 3,14$.

Ответ: $\frac{9\pi}{2} - 12$

4) Для вычисления значения выражения $\arcctg(\ctg\frac{15\pi}{11})$ воспользуемся определением арккотангенса. Область значений функции $y = \arcctg(x)$ — это интервал $(0, \pi)$.

Аргумент котангенса $\frac{15\pi}{11}$ не принадлежит этому интервалу, так как $\frac{15\pi}{11} > \pi$.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in (0, \pi)$, чтобы $\ctg(\alpha) = \ctg(\frac{15\pi}{11})$.

Используем свойство периодичности котангенса $\ctg(x) = \ctg(x - k\pi)$, где $k$ — целое число.

При $k=1$: $\ctg(\frac{15\pi}{11}) = \ctg(\frac{15\pi}{11} - \pi) = \ctg(\frac{4\pi}{11})$.

Число $\frac{4\pi}{11}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Таким образом, $\arcctg(\ctg\frac{15\pi}{11}) = \arcctg(\ctg\frac{4\pi}{11}) = \frac{4\pi}{11}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{11}$

5) Для вычисления значения выражения $\arcctg(\tg 10)$ сначала преобразуем тангенс в котангенс, используя формулу приведения: $\tg(x) = \ctg(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\arcctg(\tg 10) = \arcctg(\ctg(\frac{\pi}{2} - 10))$.

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Аргумент $\frac{\pi}{2} - 10 \approx 1,57 - 10 = -8,43$ не принадлежит этому интервалу.

Нам нужно найти такое число $\alpha \in (0, \pi)$, чтобы $\ctg(\alpha) = \ctg(\frac{\pi}{2} - 10)$.

Используем свойство периодичности котангенса $\ctg(x) = \ctg(x + k\pi)$, где $k$ — целое число.

Подберем $k$ так, чтобы значение $\alpha = \frac{\pi}{2} - 10 + k\pi$ попало в интервал $(0, \pi)$.

$0 < \frac{\pi}{2} - 10 + k\pi < \pi$

$10 - \frac{\pi}{2} < k\pi < 10 + \frac{\pi}{2}$

$\frac{10}{\pi} - \frac{1}{2} < k < \frac{10}{\pi} + \frac{1}{2}$

$\frac{10}{3,14} - 0,5 < k < \frac{10}{3,14} + 0,5 \implies 3,18 - 0,5 < k < 3,18 + 0,5 \implies 2,68 < k < 3,68$.

Единственное целое значение в этом промежутке — это $k=3$.

Подставляем $k=3$ и получаем $\alpha = \frac{\pi}{2} - 10 + 3\pi = \frac{7\pi}{2} - 10$.

Это значение принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $\frac{7\pi}{2} - 10 \approx \frac{7 \cdot 3,14}{2} - 10 \approx 10,99 - 10 = 0,99$, и $0 < 0,99 < 3,14$.

Ответ: $\frac{7\pi}{2} - 10$

31.42. Решите уравнение $(\arcsin x)^2 + (\arccos x)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$.

Исходное уравнение:$$(\arcsin x)^2 + (\arccos x)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$Область допустимых значений для $x$ определяется областью определения функций арксинуса и арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для обратных функций:$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$Из этого тождества выразим $\arccos x$:$$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$$

Подставим это выражение в исходное уравнение:$$(\arcsin x)^2 + \left(\frac{\pi}{2} - \arcsin x\right)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$

Сделаем замену переменной для упрощения. Пусть $y = \arcsin x$. Учитывая область значений арксинуса, $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Уравнение примет вид:$$y^2 + \left(\frac{\pi}{2} - y\right)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$$y^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi y + y^2 = \frac{5\pi^2}{36}$$$$2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5\pi^2}{36} = 0$$

Приведем дроби к общему знаменателю:$$2y^2 - \pi y + \frac{9\pi^2 - 5\pi^2}{36} = 0$$$$2y^2 - \pi y + \frac{4\pi^2}{36} = 0$$$$2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{9} = 0$$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. Вычислим дискриминант $D$:$$D = b^2 - 4ac = (-\pi)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{\pi^2}{9} = \pi^2 - \frac{8\pi^2}{9} = \frac{9\pi^2 - 8\pi^2}{9} = \frac{\pi^2}{9}$$Найдем корни уравнения:$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\pi \pm \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}}{2 \cdot 2} = \frac{\pi \pm \frac{\pi}{3}}{4}$$

Получаем два возможных значения для $y$:$$y_1 = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{4} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{4} = \frac{\pi}{3}$$$$y_2 = \frac{\pi - \frac{\pi}{3}}{4} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{4} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

Оба найденных значения $y_1 = \frac{\pi}{3}$ и $y_2 = \frac{\pi}{6}$ принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, который является областью значений арксинуса. Следовательно, оба решения для $y$ подходят.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $y = \frac{\pi}{3}$, то:$$\arcsin x = \frac{\pi}{3}$$$$x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Если $y = \frac{\pi}{6}$, то:$$\arcsin x = \frac{\pi}{6}$$$$x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Оба значения $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$ принадлежат области допустимых значений $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}$.

31.43. Решите уравнение $\operatorname{arctg} x \cdot \operatorname{arcctg} x = -\frac{5\pi^2}{18}$.

Исходное уравнение: $arctg x \cdot arcctg x = -\frac{5\pi^2}{18}$.

Область допустимых значений для $x$ — все действительные числа, то есть $x \in R$.

Воспользуемся основным тождеством, связывающим арктангенс и арккотангенс:

$arctg x + arcctg x = \frac{\pi}{2}$

Из этого тождества выразим $arcctg x$ через $arctg x$:

$arcctg x = \frac{\pi}{2} - arctg x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$arctg x \cdot (\frac{\pi}{2} - arctg x) = -\frac{5\pi^2}{18}$

Для удобства решения введем замену. Пусть $y = arctg x$. При этом необходимо учесть область значений функции арктангенс: $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

После замены уравнение принимает вид:

$y \cdot (\frac{\pi}{2} - y) = -\frac{5\pi^2}{18}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду:

$\frac{\pi}{2}y - y^2 = -\frac{5\pi^2}{18}$

$y^2 - \frac{\pi}{2}y - \frac{5\pi^2}{18} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Сначала найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-\frac{\pi}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{5\pi^2}{18}) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{20\pi^2}{18} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{10\pi^2}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 36:

$D = \frac{9\pi^2}{36} + \frac{40\pi^2}{36} = \frac{49\pi^2}{36} = (\frac{7\pi}{6})^2$

Теперь найдем корни уравнения $y_{1,2}$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \sqrt{(\frac{7\pi}{6})^2}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \frac{7\pi}{6}}{2}$

Вычислим каждый корень:

$y_1 = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi + 7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{10\pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{6}$

$y_2 = \frac{\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi - 7\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

1. Для корня $y_1 = \frac{5\pi}{6}$. Так как $\frac{5\pi}{6} > \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, этот корень не входит в область значений функции арктангенс и является посторонним.

2. Для корня $y_2 = -\frac{\pi}{3}$. Условие $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ выполняется, так как $-\frac{3\pi}{6} < -\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6}$. Следовательно, это подходящий корень.

Вернемся к переменной $x$:

$arctg x = -\frac{\pi}{3}$

Отсюда находим $x$:

$x = tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

31.44. Докажите, что $ \arcsin \frac{3}{5} + \arcsin \frac{5}{13} = \arcsin \frac{56}{65}. $

Для доказательства равенства обозначим $ \alpha = \arcsin\frac{3}{5} $ и $ \beta = \arcsin\frac{5}{13} $.
Наша задача — доказать, что $ \alpha + \beta = \arcsin\frac{56}{65} $.

По определению арксинуса:
Из $ \alpha = \arcsin\frac{3}{5} $ следует, что $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{3}{5} > 0 $, то угол $ \alpha $ находится в первой четверти: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Из $ \beta = \arcsin\frac{5}{13} $ следует, что $ \sin\beta = \frac{5}{13} $ и $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{5}{13} > 0 $, то угол $ \beta $ также находится в первой четверти: $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

Для доказательства тождества найдем синус левой части, то есть $ \sin(\alpha + \beta) $.
Воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

Сначала найдем значения $ \cos\alpha $ и $ \cos\beta $. Так как $ \alpha $ и $ \beta $ — углы первой четверти, их косинусы положительны. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.
$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Теперь подставим найденные значения в формулу синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65} $.

Мы получили, что $ \sin(\alpha + \beta) = \frac{56}{65} $.
Теперь необходимо убедиться, что угол $ \alpha + \beta $ находится в области значений функции арксинус, то есть в интервале $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Поскольку $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $, то их сумма находится в пределах $ 0 < \alpha + \beta < \pi $.
Чтобы уточнить диапазон, найдем $ \cos(\alpha + \beta) $ по формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65} $.
Так как $ \cos(\alpha + \beta) > 0 $, угол $ \alpha + \beta $ не может находиться во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi $). Следовательно, $ 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} $.

Итак, мы имеем $ \sin(\alpha + \beta) = \frac{56}{65} $ и $ 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} $.
Так как угол $ \alpha + \beta $ попадает в область значений арксинуса $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, из равенства $ \sin(\alpha + \beta) = \frac{56}{65} $ следует, что $ \alpha + \beta = \arcsin\frac{56}{65} $.
Заменив $ \alpha $ и $ \beta $ их исходными выражениями, получаем:
$ \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{5}{13} = \arcsin\frac{56}{65} $.
Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

31.45. Докажите, что $\arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{12}{13} = \frac{\pi}{2}$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся основным свойством обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, которое справедливо для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$.

Применим это свойство для $x = \frac{5}{13}$:$\arcsin\frac{5}{13} + \arccos\frac{5}{13} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь докажем, что $\arccos\frac{5}{13} = \arcsin\frac{12}{13}$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{5}{13}$. Согласно определению арккосинуса, это означает, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Так как значение косинуса $\frac{5}{13}$ положительно, угол $\alpha$ лежит в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение $\sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Поскольку $\alpha$ находится в первой четверти, $\sin \alpha$ имеет положительное значение. Следовательно:$\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Итак, мы имеем $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Это в точности соответствует определению арксинуса, так как область значений арксинуса — это $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $\alpha = \arcsin\frac{12}{13}$.

Так как мы изначально положили $\alpha = \arccos\frac{5}{13}$, мы доказали, что $\arccos\frac{5}{13} = \arcsin\frac{12}{13}$.

Подставим полученный результат в равенство $\arcsin\frac{5}{13} + \arccos\frac{5}{13} = \frac{\pi}{2}$:$\arcsin\frac{5}{13} + \arcsin\frac{12}{13} = \frac{\pi}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

31.46. Решите уравнение $ \arcsin 2x + \arcsin x = \frac{\pi}{3} $.

Исходное уравнение: $arcsin(2x) + arcsin(x) = \frac{\pi}{3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции $arcsin$ должен находиться в промежутке $[-1, 1]$. Это дает нам систему неравенств:

$ \begin{cases} -1 \le 2x \le 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Пересекая это решение со вторым неравенством, получаем ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Для решения уравнения перенесем один из членов в правую часть:

$arcsin(2x) = \frac{\pi}{3} - arcsin(x)$

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$sin(arcsin(2x)) = sin(\frac{\pi}{3} - arcsin(x))$

Левая часть равна $2x$. Для преобразования правой части используем формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$:

$2x = sin(\frac{\pi}{3}) \cdot cos(arcsin(x)) - cos(\frac{\pi}{3}) \cdot sin(arcsin(x))$

Подставим известные значения: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $sin(arcsin(x)) = x$ и $cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$. (Знак "плюс" перед корнем, так как область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а на этом промежутке косинус неотрицателен).

Уравнение принимает вид:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} - \frac{1}{2} x$

Перенесем член с $x$ в левую часть и приведем подобные:

$2x + \frac{1}{2} x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$

$\frac{5x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$

$5x = \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2}$

Правая часть этого уравнения неотрицательна, поэтому и левая часть должна быть неотрицательной: $5x \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Совместив это с ОДЗ, получаем, что решение должно лежать в промежутке $[0, \frac{1}{2}]$. На этом промежутке обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(5x)^2 = (\sqrt{3}\sqrt{1 - x^2})^2$

$25x^2 = 3(1 - x^2)$

$25x^2 = 3 - 3x^2$

$28x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{28}$

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{28}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{14}$.

Учитывая условие $x \ge 0$, выбираем положительный корень: $x = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Необходимо убедиться, что $\frac{\sqrt{21}}{14} \le \frac{1}{2}$. Это неравенство эквивалентно $\sqrt{21} \le 7$. Так как обе части положительны, возводим в квадрат: $21 \le 49$. Неравенство верное, следовательно, найденный корень $x = \frac{\sqrt{21}}{14}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{14}$.

31.47. Решите уравнение $ \arcsin x + \arcsin \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Исходное уравнение: $\arcsin x + \arcsin \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2}$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент функции $\arcsin u$ должен находиться в промежутке $[-1, 1]$. Поэтому должны выполняться два условия:

$\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -1 \le \frac{x}{2} \le 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$-2 \le x \le 2$

Найдем пересечение двух условий:

$\begin{cases} x \in [-1, 1] \\ x \in [-2, 2] \end{cases} \implies x \in [-1, 1]$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-1, 1]$.

2. Решение уравнения.

Преобразуем исходное уравнение:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{x}{2}$

Воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arccos u = \frac{\pi}{2} - \arcsin u$.

Применив это тождество к правой части уравнения, получим:

$\arcsin x = \arccos \frac{x}{2}$

Пусть $\alpha = \arcsin x = \arccos \frac{x}{2}$.

Из равенства $\alpha = \arcsin x$ следует, что $x = \sin \alpha$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Из равенства $\alpha = \arccos \frac{x}{2}$ следует, что $\frac{x}{2} = \cos \alpha$ и $\alpha \in [0, \pi]$.

Чтобы оба равенства выполнялись одновременно, $\alpha$ должен принадлежать пересечению этих промежутков: $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

На промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ значения синуса и косинуса неотрицательны, то есть $\sin \alpha \ge 0$ и $\cos \alpha \ge 0$.

Следовательно, $x \ge 0$ и $\frac{x}{2} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

С учетом ОДЗ ($x \in [-1, 1]$), получаем, что корень уравнения должен лежать в промежутке $x \in [0, 1]$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим в него выражения для $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через $x$:

$x^2 + (\frac{x}{2})^2 = 1$

$x^2 + \frac{x^2}{4} = 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4x^2 + x^2}{4} = 1$

$\frac{5x^2}{4} = 1$

$5x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{5}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x = \sqrt{\frac{4}{5}}$ и $x = -\sqrt{\frac{4}{5}}$.

$x_1 = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$x_2 = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Так как мы установили, что $x \ge 0$, то корень $x_2 = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ является посторонним.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x_1 = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ области допустимых значений $x \in [-1, 1]$.

Так как $4 < 5$, то $\frac{4}{5} < 1$, следовательно $x_1^2 < 1$, что означает $|x_1| < 1$. Корень $x_1 = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.