Страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arccos x + \pi$;

2) $y = \arcsin x + 1$.

1) $y = \arccos x + \pi$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо определить ее область значений.

Область значений функции арккосинус, $E(\arccos x)$, представляет собой отрезок $[0, \pi]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$0 \le \arccos x \le \pi$

Заданная функция $y = \arccos x + \pi$ получается из функции $\arccos x$ путем прибавления константы $\pi$. Чтобы найти область значений новой функции, нужно прибавить $\pi$ ко всем частям исходного неравенства:
$0 + \pi \le \arccos x + \pi \le \pi + \pi$
$\pi \le y \le 2\pi$

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[\pi, 2\pi]$.
Наименьшее значение функции равно $\pi$. Оно достигается, когда $\arccos x$ принимает свое наименьшее значение, то есть $0$. Это происходит при $x=1$.
Наибольшее значение функции равно $2\pi$. Оно достигается, когда $\arccos x$ принимает свое наибольшее значение, то есть $\pi$. Это происходит при $x=-1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\pi$, наибольшее значение функции равно $2\pi$.

2) $y = \arcsin x + 1$

Аналогично предыдущему пункту, найдем область значений данной функции, исходя из свойств функции арксинус.

Область значений функции арксинус, $E(\arcsin x)$, представляет собой отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений функции $y = \arcsin x + 1$, прибавим $1$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + 1 \le \arcsin x + 1 \le \frac{\pi}{2} + 1$
$1 - \frac{\pi}{2} \le y \le 1 + \frac{\pi}{2}$

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[1 - \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$.
Наименьшее значение функции равно $1 - \frac{\pi}{2}$. Оно достигается, когда $\arcsin x$ принимает свое наименьшее значение, то есть $-\frac{\pi}{2}$. Это происходит при $x=-1$.
Наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi}{2}$. Оно достигается, когда $\arcsin x$ принимает свое наибольшее значение, то есть $\frac{\pi}{2}$. Это происходит при $x=1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1 - \frac{\pi}{2}$, наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi}{2}$.

31.7. Найдите область значений функции:

1) $y = \operatorname{arctg} x + 2;$

2) $y = \sqrt{\operatorname{arctg} x}.$

1) $y = \operatorname{arctg} x + 2$

Областью значений функции арктангенс $z = \operatorname{arctg} x$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$.

Данная функция $y$ получена из функции $z = \operatorname{arctg} x$ путем прибавления константы 2, что соответствует сдвигу графика функции вверх на 2 единицы. Чтобы найти область значений функции $y$, необходимо прибавить 2 ко всем частям неравенства: $-\frac{\pi}{2} + 2 < \operatorname{arctg} x + 2 < \frac{\pi}{2} + 2$.

Следовательно, $2 - \frac{\pi}{2} < y < 2 + \frac{\pi}{2}$. Таким образом, область значений функции $y = \operatorname{arctg} x + 2$ есть интервал $(2 - \frac{\pi}{2}; 2 + \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $(2 - \frac{\pi}{2}; 2 + \frac{\pi}{2})$.

2) $y = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}$

Сначала определим множество значений выражения, стоящего под знаком корня. Область значений функции арккотангенс $z = \operatorname{arcctg} x$ есть интервал $(0; \pi)$. Запишем это в виде двойного неравенства: $0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$.

Функция квадратного корня $y = \sqrt{z}$ определена для $z \ge 0$ и является возрастающей на своей области определения. Поскольку значения $\operatorname{arcctg} x$ всегда строго положительны, подкоренное выражение всегда больше нуля, и функция $y$ определена для всех действительных чисел $x$.

Чтобы найти область значений функции $y$, применим операцию извлечения квадратного корня ко всем частям неравенства для $\operatorname{arcctg} x$: $\sqrt{0} < \sqrt{\operatorname{arcctg} x} < \sqrt{\pi}$.

Отсюда получаем: $0 < y < \sqrt{\pi}$. Таким образом, область значений функции $y = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}$ есть интервал $(0; \sqrt{\pi})$.

Ответ: $(0; \sqrt{\pi})$.

31.8. Найдите область значений функции:

1) $y = \operatorname{arcctg} x + 4;$

2) $y = \sqrt{-\operatorname{arcctg} x}.$

1) $y = \operatorname{arcctg} x + 4$

Областью значений функции $f(x) = \operatorname{arcctg} x$ является интервал $(0; \pi)$.
Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство:
$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$
Чтобы найти область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x + 4$, нужно прибавить 4 к каждой части этого неравенства:
$0 + 4 < \operatorname{arcctg} x + 4 < \pi + 4$
$4 < y < \pi + 4$
Таким образом, область значений данной функции — это интервал $(4; \pi + 4)$.

Ответ: $E(y) = (4; \pi + 4)$.

2) $y = \sqrt{-\operatorname{arcctg} x}$

Для нахождения области значений сначала определим область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$-\operatorname{arcctg} x \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\operatorname{arcctg} x \le 0$
Однако, по определению, область значений функции арккотангенс есть интервал $(0; \pi)$. Это значит, что $\operatorname{arcctg} x$ всегда принимает строго положительные значения:
$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$
Следовательно, неравенство $\operatorname{arcctg} x \le 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Это означает, что область определения функции $y = \sqrt{-\operatorname{arcctg} x}$ является пустым множеством: $D(y) = \emptyset$.
Поскольку функция не определена ни для одного значения $x$, ее область значений также является пустым множеством.

Ответ: $E(y) = \emptyset$.

31.9. Решите уравнение:

1) $\arcsin x = -\frac{\pi}{6}$;

2) $\arccos x = \frac{1}{2}$;

3) $\arcsin x = \frac{5\pi}{6}$.

1) Дано уравнение $arcsin x = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin x = y$, то $x = sin(y)$ при условии, что $y$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Значение $y = -\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Чтобы найти $x$, нужно взять синус от обеих частей уравнения:

$x = sin(-\frac{\pi}{6})$

Так как синус — нечетная функция, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Поэтому:

$x = -sin(\frac{\pi}{6})$

Зная, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $arccos x = \frac{1}{2}$.

По определению арккосинуса, если $arccos x = y$, то $x = cos(y)$ при условии, что $y$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Значение $y = \frac{1}{2}$ (в радианах) принадлежит этому отрезку, так как $0 \le \frac{1}{2} \le \pi$ (приблизительно $0 \le 0.5 \le 3.14$). Следовательно, уравнение имеет решение.

Чтобы найти $x$, нужно взять косинус от обеих частей уравнения:

$x = cos(\frac{1}{2})$

Это точное значение, которое не является табличным. Угол $\frac{1}{2}$ дан в радианах.

Ответ: $cos(\frac{1}{2})$.

3) Дано уравнение $arcsin x = \frac{5\pi}{6}$.

Область значений функции арксинус $y = arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли значение $\frac{5\pi}{6}$ этому отрезку.

Сравним $\frac{5\pi}{6}$ с верхней границей отрезка $\frac{\pi}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю $6$: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$.

Поскольку $\frac{5\pi}{6} > \frac{3\pi}{6}$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$.

Значение $\frac{5\pi}{6}$ не входит в область значений функции арксинус, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

31.10. Решите уравнение:

1) $ \arccos x = \frac{\pi}{6}; $

2) $ \arccos x = -\frac{\pi}{6}; $

3) $ \arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{2}. $

1) Дано уравнение: $arccos(x) = \frac{\pi}{6}$. По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = cos(b)$, при условии, что $b$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. В данном случае $b = \frac{\pi}{6}$, и это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{6} \le \pi$. Следовательно, мы можем найти $x$, взяв косинус от обеих частей уравнения: $x = cos(\frac{\pi}{6})$. Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным: $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дано уравнение: $arccos(x) = -\frac{\pi}{6}$. Областью значений функции арккосинус, $y = arccos(x)$, является промежуток $[0; \pi]$. Значение $-\frac{\pi}{6}$ не принадлежит этому промежутку, так как $-\frac{\pi}{6} < 0$. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Дано уравнение: $arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{2}$. Поскольку значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0; \pi]$, уравнение может иметь решение. По определению арккосинуса, получаем: $2x - 3 = cos(\frac{\pi}{2})$. Известно, что $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, поэтому уравнение упрощается до: $2x - 3 = 0$. Решим это линейное уравнение: $2x = 3$ $x = \frac{3}{2}$. Необходимо также проверить, что аргумент арккосинуса при найденном значении $x$ принадлежит области определения функции, то есть промежутку $[-1; 1]$. Подставим $x = \frac{3}{2}$ в выражение $2x - 3$: $2(\frac{3}{2}) - 3 = 3 - 3 = 0$. Значение $0$ принадлежит промежутку $[-1; 1]$, следовательно, найденное решение является верным.
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

31.11. Решите уравнение:

1) $\arctg x = \frac{\pi}{4}$;

2) $\arctg x = 1$;

3) $\arctg x = \frac{3\pi}{4}$.

1) $\arctg x = \frac{\pi}{4}$

По определению арктангенса, если $\arctg x = y$, то $x = \tg y$, при условии, что $y$ принадлежит области значений функции арктангенс, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

В данном случае $y = \frac{\pi}{4}$. Проверим, выполняется ли условие:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$

Это неравенство верно, так как $-\frac{2\pi}{4} < \frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{4}$. Следовательно, решение существует.

Чтобы найти $x$, нужно вычислить тангенс от правой части уравнения:

$x = \tg(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) является табличным значением:

$x = 1$

Ответ: 1

2) $\arctg x = 1$

По определению арктангенса, это уравнение эквивалентно $x = \tg(1)$.

Прежде чем записать ответ, нужно убедиться, что значение в правой части исходного уравнения (в данном случае 1) принадлежит области значений функции арктангенс, то есть интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Приближенно $\pi \approx 3,14159$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$.

Сравним 1 с границами интервала:

$-\frac{\pi}{2} < 1 < \frac{\pi}{2}$ (приблизительно $-1,5708 < 1 < 1,5708$).

Неравенство верное, значит, решение существует.

$x = \tg(1)$

Это точное значение, которое является иррациональным числом. Угол 1 здесь задан в радианах.

Ответ: $\tg(1)$

3) $\arctg x = \frac{3\pi}{4}$

Областью значений функции $y = \arctg x$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для любого действительного $x$, значение его арктангенса должно лежать строго между $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении значение, которому должен быть равен арктангенс, это $\frac{3\pi}{4}$.

Сравним это значение с верхней границей области значений:

$\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$. Приведем к общему знаменателю 4: $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{2\pi}{4}$.

Очевидно, что $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{4}$, то есть $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.

Так как значение $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит области значений функции арктангенс $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

31.12. Решите уравнение:

1) $arcctg x = \frac{3\pi}{4}$;

2) $arcctg x = -1$;

3) $arcctg x = -\frac{\pi}{4}$.

1) Дано уравнение $arcctg x = \frac{3\pi}{4}$. По определению арккотангенса, если $arcctg x = y$, то $x = ctg y$. Область значений функции $y = arcctg x$ — это интервал $(0; \pi)$. Поскольку значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу ($0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$), уравнение имеет решение. Чтобы найти $x$, возьмем котангенс от обеих частей уравнения: $x = ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right)$. Вычислим значение котангенса, используя формулу приведения: $ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = ctg\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Таким образом, $x = -1$. Ответ: $x = -1$.

2) Дано уравнение $arcctg x = -1$. Областью значений функции арккотангенс $y = arcctg x$ является интервал $(0; \pi)$. Это означает, что $arcctg x$ может принимать только положительные значения, строго большие нуля и меньшие $\pi$ (приблизительно 3,14). Поскольку число $-1$ является отрицательным, оно не входит в область значений арккотангенса. Следовательно, данное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

3) Дано уравнение $arcctg x = -\frac{\pi}{4}$. Область значений функции $y = arcctg x$ — это интервал $(0; \pi)$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ является отрицательным числом, поэтому оно не принадлежит интервалу $(0; \pi)$. Следовательно, данное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

31.13. Решите неравенство:

1) $\arcsin x > -\frac{\pi}{2};$

2) $\arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$

3) $\arcsin x > \frac{\pi}{2};$

4) $\arccos x \leq 0;$

5) $\arccos x > 0;$

6) $\arccos x < \pi.$

1) $ \arcsin x > -\frac{\pi}{2} $
Область определения функции $ y = \arcsin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arcsin x $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Из области значений следует, что $ \arcsin x \geq -\frac{\pi}{2} $ для всех $ x $ из области определения. Неравенство $ \arcsin x > -\frac{\pi}{2} $ является строгим, поэтому необходимо исключить значение $ x $, при котором $ \arcsin x = -\frac{\pi}{2} $.
$ \arcsin x = -\frac{\pi}{2} $ при $ x = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $.
Таким образом, решение неравенства — это все значения $ x $ из области определения $ [-1, 1] $, кроме $ x = -1 $.
Ответ: $ (-1, 1] $.

2) $ \arcsin x \leq \frac{\pi}{2} $
Область определения функции $ y = \arcsin x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arcsin x $: $ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
По определению области значений, $ \arcsin x $ всегда меньше или равно $ \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $ x $ из области определения.
Ответ: $ [-1, 1] $.

3) $ \arcsin x > \frac{\pi}{2} $
Область значений функции $ y = \arcsin x $: $ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Максимальное значение, которое может принимать $ \arcsin x $, равно $ \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, неравенство $ \arcsin x > \frac{\pi}{2} $ не может быть выполнено ни при каких значениях $ x $.
Ответ: $ \varnothing $.

4) $ \arccos x \leq 0 $
Область определения функции $ y = \arccos x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arccos x $: $ y \in [0, \pi] $.
Из области значений следует, что $ \arccos x $ всегда больше или равно $ 0 $.
Следовательно, неравенство $ \arccos x \leq 0 $ может выполняться только в том случае, когда $ \arccos x = 0 $.
Это равенство достигается при $ x = \cos(0) = 1 $.
Ответ: $ \{1\} $.

5) $ \arccos x > 0 $
Область определения функции $ y = \arccos x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arccos x $: $ y \in [0, \pi] $.
Из области значений следует, что $ \arccos x \geq 0 $.
Неравенство $ \arccos x > 0 $ является строгим, поэтому нужно исключить значение $ x $, при котором $ \arccos x = 0 $.
$ \arccos x = 0 $ при $ x = 1 $.
Таким образом, решение неравенства — это все значения $ x $ из области определения $ [-1, 1] $, кроме $ x = 1 $.
Ответ: $ [-1, 1) $.

6) $ \arccos x < \pi $
Область определения функции $ y = \arccos x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arccos x $: $ y \in [0, \pi] $.
Из области значений следует, что $ \arccos x \leq \pi $.
Неравенство $ \arccos x < \pi $ является строгим, поэтому нужно исключить значение $ x $, при котором $ \arccos x = \pi $.
$ \arccos x = \pi $ при $ x = \cos(\pi) = -1 $.
Таким образом, решение неравенства — это все значения $ x $ из области определения $ [-1, 1] $, кроме $ x = -1 $.
Ответ: $ (-1, 1] $.

31.14. Решите неравенство:

1) $arccos x \ge \pi;$

2) $arcsin x < \frac{\pi}{2};$

3) $arccos x \ge 0;$

4) $arccos x \le \pi;$

5) $arccos x > \pi;$

6) $arcsin x \le -\frac{\pi}{2}.$

1) $\arccos x \ge \pi$

Область определения функции арккосинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
Это означает, что для любого допустимого значения $x$, $\arccos x$ всегда будет в пределах от $0$ до $\pi$.
Неравенство $\arccos x \ge \pi$ может выполняться только в одном случае: когда $\arccos x = \pi$.
Решим уравнение $\arccos x = \pi$.
$x = \cos(\pi) = -1$.
Этот корень принадлежит области определения $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -1$.

2) $\arcsin x < \frac{\pi}{2}$

Область определения функции арксинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арксинус: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Функция $y = \arcsin x$ является возрастающей на всей своей области определения.
Максимальное значение $\frac{\pi}{2}$ функция принимает при $x=1$, так как $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
Неравенство $\arcsin x < \frac{\pi}{2}$ означает, что мы ищем все значения $x$ из области определения, кроме того, при котором достигается равенство.
Таким образом, $x$ должен быть строго меньше 1.
Учитывая область определения, получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x < 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $-1 \le x < 1$.
Ответ: $x \in [-1, 1)$.

3) $\arccos x \ge 0$

Область определения функции арккосинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
По определению, значение $\arccos x$ всегда неотрицательно. То есть, для любого $x$ из области определения, неравенство $\arccos x \ge 0$ всегда выполняется.
Следовательно, решением неравенства является вся область определения функции.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

4) $\arccos x \le \pi$

Область определения функции арккосинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
По определению, значение $\arccos x$ никогда не превышает $\pi$. То есть, для любого $x$ из области определения, неравенство $\arccos x \le \pi$ всегда выполняется.
Следовательно, решением неравенства является вся область определения функции.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

5) $\arccos x > \pi$

Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
Это означает, что максимальное значение, которое может принимать $\arccos x$, равно $\pi$.
Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых $\arccos x$ был бы строго больше $\pi$.
Неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

6) $\arcsin x \le -\frac{\pi}{2}$

Область определения функции арксинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арксинус: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Это означает, что для любого допустимого значения $x$, $\arcsin x$ всегда будет в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
Неравенство $\arcsin x \le -\frac{\pi}{2}$ может выполняться только в одном случае: когда $\arcsin x = -\frac{\pi}{2}$.
Решим уравнение $\arcsin x = -\frac{\pi}{2}$.
$x = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Этот корень принадлежит области определения $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -1$.

31.15. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\pi - \arccos x};$

2) $y = \sqrt{\arccos x - \pi};$

3) $y = \arcsin(\sqrt{x} + 1).$

1) $y = \sqrt{\pi - \arccos x}$

Область определения функции находится из системы двух условий:
1. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\pi - \arccos x \ge 0$.

Рассмотрим второе условие:
$\pi - \arccos x \ge 0$
$\arccos x \le \pi$

Область значений функции $f(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0; \pi]$. Это означает, что для любого $x$ из области определения арккосинуса, значение $\arccos x$ всегда меньше или равно $\pi$. Таким образом, неравенство $\arccos x \le \pi$ выполняется для всех $x$, для которых определен $\arccos x$, то есть для всех $x \in [-1; 1]$.

Поскольку второе условие выполняется для всех $x$, для которых выполняется первое, область определения исходной функции совпадает с областью определения функции арккосинуса.

Ответ: $[-1; 1]$.

2) $y = \sqrt{\arccos x - \pi}$

Область определения функции находится из системы двух условий:
1. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\arccos x - \pi \ge 0$.

Рассмотрим второе условие:
$\arccos x - \pi \ge 0$
$\arccos x \ge \pi$

Область значений функции $f(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0; \pi]$. Максимальное значение, которое может принимать $\arccos x$, равно $\pi$. Следовательно, неравенство $\arccos x \ge \pi$ может выполняться только в одном случае: когда $\arccos x = \pi$.

Найдем значение $x$, при котором $\arccos x = \pi$:
$x = \cos(\pi) = -1$.

Это значение $x = -1$ удовлетворяет первому условию ($-1 \in [-1; 1]$). Следовательно, область определения функции состоит из единственной точки.

Ответ: $\{-1\}$.

3) $y = \arcsin(\sqrt{x} + 1)$

Область определения функции находится из системы двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sqrt{x} + 1 \le 1$.

Рассмотрим второе условие — двойное неравенство:
$-1 \le \sqrt{x} + 1 \le 1$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le \sqrt{x} \le 1 - 1$
$-2 \le \sqrt{x} \le 0$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ является неотрицательной величиной, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Таким образом, двойное неравенство $-2 \le \sqrt{x} \le 0$ может выполняться только при условии, что $\sqrt{x}$ равно одновременно и больше или равно 0, и меньше или равно 0. Единственное число, удовлетворяющее этому, — ноль.

$\sqrt{x} = 0$
Возведя обе части в квадрат, получаем:
$x = 0$.

Полученное значение $x = 0$ удовлетворяет первому условию ($0 \ge 0$). Следовательно, область определения функции состоит из единственной точки.

Ответ: $\{0\}$.

31.16. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \arcsin x}$;

2) $y = \sqrt{\arcsin x - \frac{\pi}{2}};$

3) $y = \sqrt{-\arccos x}$;

4) $y = \arccos(x^2 - 2x + 2)$.

1) $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \arcsin x}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} \frac{\pi}{2} - \arcsin x \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{\pi}{2} - \arcsin x \ge 0$

$\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Область значений функции $\arcsin x$ есть отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Следовательно, неравенство $\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ выполняется для всех $x$ из области определения арксинуса, то есть для всех $x \in [-1; 1]$.

Таким образом, решением системы является отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: $[-1; 1]$.

2) $y = \sqrt{\arcsin x - \frac{\pi}{2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} \arcsin x - \frac{\pi}{2} \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\arcsin x - \frac{\pi}{2} \ge 0$

$\arcsin x \ge \frac{\pi}{2}$

Так как область значений функции $\arcsin x$ есть отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, то неравенство $\arcsin x \ge \frac{\pi}{2}$ может выполняться только в случае равенства:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2}$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 1$. Это значение удовлетворяет второму условию системы ($-1 \le 1 \le 1$).

Ответ: $\{1\}$.

3) $y = \sqrt{-\arccos x}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} -\arccos x \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$-\arccos x \ge 0$

$\arccos x \le 0$

Область значений функции $\arccos x$ есть отрезок $[0; \pi]$. Следовательно, неравенство $\arccos x \le 0$ может выполняться только в случае равенства:

$\arccos x = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 1$. Это значение удовлетворяет второму условию системы ($-1 \le 1 \le 1$).

Ответ: $\{1\}$.

4) $y = \arccos(x^2 - 2x + 2)$

Область определения функции $\arccos t$ есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, аргумент данной функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le x^2 - 2x + 2 \le 1$

Преобразуем выражение в скобках, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$

Подставим это выражение в неравенство:

$-1 \le (x - 1)^2 + 1 \le 1$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 \le (x - 1)^2 \le 0$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (x - 1)^2 \ge -2 \\ (x - 1)^2 \le 0 \end{cases}$

Первое неравенство $(x - 1)^2 \ge -2$ выполняется для любых действительных значений $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Второе неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ выполняется только тогда, когда $(x - 1)^2 = 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Решим уравнение $(x - 1)^2 = 0$:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, область определения функции состоит из единственного числа.

Ответ: $\{1\}$.

31.17. Найдите область значений функции:

1) $y = \arcsin \sqrt{x + 4}$;

2) $y = \frac{1}{\arcsin x}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$.

1) $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$

Для нахождения области значений функции $E(y)$ сначала найдем ее область определения $D(y)$.
Функция определена, если выполнены два условия:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Аргумент арксинуса находится в промежутке $[-1, 1]$: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.
Поскольку $\sqrt{x}$ по определению неотрицателен, второе неравенство равносильно $0 \le \sqrt{x} \le 1$.
Возведя в квадрат все части этого неравенства, получаем $0 \le x \le 1$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем, какие значения принимает выражение $\sqrt{x}$ при $x \in [0, 1]$.
Функция $t(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает при $x=0$, $t(0)=\sqrt{0}=0$, а наибольшее — при $x=1$, $t(1)=\sqrt{1}=1$.
Значит, $\sqrt{x}$ принимает все значения из отрезка $[0, 1]$.

Далее найдем, какие значения принимает функция $\arcsin t$ при $t \in [0, 1]$.
Функция $\arcsin t$ является возрастающей. Ее наименьшее значение на отрезке $[0, 1]$ равно $\arcsin 0 = 0$, а наибольшее — $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, выражение $\arcsin\sqrt{x}$ принимает все значения из отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Наконец, найдем область значений исходной функции $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$.
Так как $0 \le \arcsin\sqrt{x} \le \frac{\pi}{2}$, то, прибавив 4 ко всем частям неравенства, получим:
$0 + 4 \le \arcsin\sqrt{x} + 4 \le \frac{\pi}{2} + 4$
$4 \le y \le 4 + \frac{\pi}{2}$
Таким образом, область значений функции — это отрезок $[4, 4 + \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [4; 4 + \frac{\pi}{2}]$.

2) $y = \frac{1}{\arcsin x}$

Найдем область определения функции $D(y)$.
1. Аргумент арксинуса должен находиться в промежутке $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\arcsin x \ne 0$. Это условие выполняется при $x \ne 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Теперь найдем множество значений, которые принимает знаменатель $\arcsin x$ при $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.
Функция $\arcsin x$ возрастающая.
- Если $x \in [-1, 0)$, то $\arcsin x$ принимает значения от $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ (включительно) до $\arcsin 0 = 0$ (не включительно). То есть, $\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, 0)$.
- Если $x \in (0, 1]$, то $\arcsin x$ принимает значения от $\arcsin 0 = 0$ (не включительно) до $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ (включительно). То есть, $\arcsin x \in (0, \frac{\pi}{2}]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем, что знаменатель $t = \arcsin x$ принимает значения из множества $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.

Теперь найдем область значений функции $y = \frac{1}{t}$ для $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
- Если $t \in (0, \frac{\pi}{2}]$, то функция $y = \frac{1}{t}$ убывает. Наименьшее значение достигается при $t = \frac{\pi}{2}$ и равно $y = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$. При $t \to 0^+$, $y \to +\infty$. Таким образом, на этом промежутке $y$ принимает значения $[\frac{2}{\pi}, +\infty)$.
- Если $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0)$, то функция $y = \frac{1}{t}$ также убывает. Наибольшее значение достигается при $t = -\frac{\pi}{2}$ и равно $y = \frac{1}{-\pi/2} = -\frac{2}{\pi}$. При $t \to 0^-$, $y \to -\infty$. Таким образом, на этом промежутке $y$ принимает значения $(-\infty, -\frac{2}{\pi}]$.

Объединяя полученные результаты, находим область значений исходной функции: $(-\infty, -\frac{2}{\pi}] \cup [\frac{2}{\pi}, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{2}{\pi}] \cup [\frac{2}{\pi}; +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$

Найдем область определения функции $D(y)$.
1. Аргумент арккосинуса должен находиться в промежутке $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $\arccos x > 0$.
Область значений функции $\arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$. Условие $\arccos x > 0$ выполняется для всех $x$ из области определения, кроме того значения, где $\arccos x = 0$.
$\arccos x = 0$ при $x=1$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-1, 1)$.

Теперь найдем множество значений, которые принимает выражение $\arccos x$ при $x \in [-1, 1)$.
Функция $\arccos x$ является убывающей.
При $x = -1$, значение $\arccos(-1) = \pi$.
При $x \to 1^-$, значение $\arccos x \to \arccos 1 = 0$.
Таким образом, при $x \in [-1, 1)$ выражение $\arccos x$ принимает значения из промежутка $(0, \pi]$.

Пусть $u = \arccos x$, тогда $u \in (0, \pi]$. Найдем множество значений выражения $\sqrt{u}$.
Функция $f(u)=\sqrt{u}$ возрастающая, поэтому для $u \in (0, \pi]$ ее значения будут находиться в промежутке $(\sqrt{0}, \sqrt{\pi}]$, то есть $(0, \sqrt{\pi}]$.

Наконец, найдем область значений исходной функции $y = \frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$. Обозначим $t = \sqrt{\arccos x}$, где $t \in (0, \sqrt{\pi}]$.
Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{1}{t}$ для $t \in (0, \sqrt{\pi}]$.
Функция $y = \frac{1}{t}$ является убывающей на $(0, +\infty)$.
Наименьшее значение будет достигаться при наибольшем значении $t$, то есть при $t=\sqrt{\pi}$: $y_{min} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$.
При $t \to 0^+$, $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений функции — это промежуток $[\frac{1}{\sqrt{\pi}}, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{\sqrt{\pi}}; +\infty)$.