Номер 31.14, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.14. Решите неравенство:

1) $arccos x \ge \pi;$

2) $arcsin x < \frac{\pi}{2};$

3) $arccos x \ge 0;$

4) $arccos x \le \pi;$

5) $arccos x > \pi;$

6) $arcsin x \le -\frac{\pi}{2}.$

1) $\arccos x \ge \pi$

Область определения функции арккосинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
Это означает, что для любого допустимого значения $x$, $\arccos x$ всегда будет в пределах от $0$ до $\pi$.
Неравенство $\arccos x \ge \pi$ может выполняться только в одном случае: когда $\arccos x = \pi$.
Решим уравнение $\arccos x = \pi$.
$x = \cos(\pi) = -1$.
Этот корень принадлежит области определения $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -1$.

2) $\arcsin x < \frac{\pi}{2}$

Область определения функции арксинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арксинус: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Функция $y = \arcsin x$ является возрастающей на всей своей области определения.
Максимальное значение $\frac{\pi}{2}$ функция принимает при $x=1$, так как $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
Неравенство $\arcsin x < \frac{\pi}{2}$ означает, что мы ищем все значения $x$ из области определения, кроме того, при котором достигается равенство.
Таким образом, $x$ должен быть строго меньше 1.
Учитывая область определения, получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x < 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $-1 \le x < 1$.
Ответ: $x \in [-1, 1)$.

3) $\arccos x \ge 0$

Область определения функции арккосинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
По определению, значение $\arccos x$ всегда неотрицательно. То есть, для любого $x$ из области определения, неравенство $\arccos x \ge 0$ всегда выполняется.
Следовательно, решением неравенства является вся область определения функции.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

4) $\arccos x \le \pi$

Область определения функции арккосинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
По определению, значение $\arccos x$ никогда не превышает $\pi$. То есть, для любого $x$ из области определения, неравенство $\arccos x \le \pi$ всегда выполняется.
Следовательно, решением неравенства является вся область определения функции.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

5) $\arccos x > \pi$

Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$.
Это означает, что максимальное значение, которое может принимать $\arccos x$, равно $\pi$.
Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых $\arccos x$ был бы строго больше $\pi$.
Неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

6) $\arcsin x \le -\frac{\pi}{2}$

Область определения функции арксинус: $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции арксинус: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Это означает, что для любого допустимого значения $x$, $\arcsin x$ всегда будет в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
Неравенство $\arcsin x \le -\frac{\pi}{2}$ может выполняться только в одном случае: когда $\arcsin x = -\frac{\pi}{2}$.
Решим уравнение $\arcsin x = -\frac{\pi}{2}$.
$x = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Этот корень принадлежит области определения $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -1$.