Номер 31.13, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.13. Решите неравенство:

1) $\arcsin x > -\frac{\pi}{2};$

2) $\arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$

3) $\arcsin x > \frac{\pi}{2};$

4) $\arccos x \leq 0;$

5) $\arccos x > 0;$

6) $\arccos x < \pi.$

1) $ \arcsin x > -\frac{\pi}{2} $
Область определения функции $ y = \arcsin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arcsin x $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Из области значений следует, что $ \arcsin x \geq -\frac{\pi}{2} $ для всех $ x $ из области определения. Неравенство $ \arcsin x > -\frac{\pi}{2} $ является строгим, поэтому необходимо исключить значение $ x $, при котором $ \arcsin x = -\frac{\pi}{2} $.
$ \arcsin x = -\frac{\pi}{2} $ при $ x = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $.
Таким образом, решение неравенства — это все значения $ x $ из области определения $ [-1, 1] $, кроме $ x = -1 $.
Ответ: $ (-1, 1] $.

2) $ \arcsin x \leq \frac{\pi}{2} $
Область определения функции $ y = \arcsin x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arcsin x $: $ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
По определению области значений, $ \arcsin x $ всегда меньше или равно $ \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $ x $ из области определения.
Ответ: $ [-1, 1] $.

3) $ \arcsin x > \frac{\pi}{2} $
Область значений функции $ y = \arcsin x $: $ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Максимальное значение, которое может принимать $ \arcsin x $, равно $ \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, неравенство $ \arcsin x > \frac{\pi}{2} $ не может быть выполнено ни при каких значениях $ x $.
Ответ: $ \varnothing $.

4) $ \arccos x \leq 0 $
Область определения функции $ y = \arccos x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arccos x $: $ y \in [0, \pi] $.
Из области значений следует, что $ \arccos x $ всегда больше или равно $ 0 $.
Следовательно, неравенство $ \arccos x \leq 0 $ может выполняться только в том случае, когда $ \arccos x = 0 $.
Это равенство достигается при $ x = \cos(0) = 1 $.
Ответ: $ \{1\} $.

5) $ \arccos x > 0 $
Область определения функции $ y = \arccos x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arccos x $: $ y \in [0, \pi] $.
Из области значений следует, что $ \arccos x \geq 0 $.
Неравенство $ \arccos x > 0 $ является строгим, поэтому нужно исключить значение $ x $, при котором $ \arccos x = 0 $.
$ \arccos x = 0 $ при $ x = 1 $.
Таким образом, решение неравенства — это все значения $ x $ из области определения $ [-1, 1] $, кроме $ x = 1 $.
Ответ: $ [-1, 1) $.

6) $ \arccos x < \pi $
Область определения функции $ y = \arccos x $: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений функции $ y = \arccos x $: $ y \in [0, \pi] $.
Из области значений следует, что $ \arccos x \leq \pi $.
Неравенство $ \arccos x < \pi $ является строгим, поэтому нужно исключить значение $ x $, при котором $ \arccos x = \pi $.
$ \arccos x = \pi $ при $ x = \cos(\pi) = -1 $.
Таким образом, решение неравенства — это все значения $ x $ из области определения $ [-1, 1] $, кроме $ x = -1 $.
Ответ: $ (-1, 1] $.