Номер 31.6, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arccos x + \pi$;

2) $y = \arcsin x + 1$.

1) $y = \arccos x + \pi$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо определить ее область значений.

Область значений функции арккосинус, $E(\arccos x)$, представляет собой отрезок $[0, \pi]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$0 \le \arccos x \le \pi$

Заданная функция $y = \arccos x + \pi$ получается из функции $\arccos x$ путем прибавления константы $\pi$. Чтобы найти область значений новой функции, нужно прибавить $\pi$ ко всем частям исходного неравенства:
$0 + \pi \le \arccos x + \pi \le \pi + \pi$
$\pi \le y \le 2\pi$

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[\pi, 2\pi]$.
Наименьшее значение функции равно $\pi$. Оно достигается, когда $\arccos x$ принимает свое наименьшее значение, то есть $0$. Это происходит при $x=1$.
Наибольшее значение функции равно $2\pi$. Оно достигается, когда $\arccos x$ принимает свое наибольшее значение, то есть $\pi$. Это происходит при $x=-1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\pi$, наибольшее значение функции равно $2\pi$.

2) $y = \arcsin x + 1$

Аналогично предыдущему пункту, найдем область значений данной функции, исходя из свойств функции арксинус.

Область значений функции арксинус, $E(\arcsin x)$, представляет собой отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений функции $y = \arcsin x + 1$, прибавим $1$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + 1 \le \arcsin x + 1 \le \frac{\pi}{2} + 1$
$1 - \frac{\pi}{2} \le y \le 1 + \frac{\pi}{2}$

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[1 - \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$.
Наименьшее значение функции равно $1 - \frac{\pi}{2}$. Оно достигается, когда $\arcsin x$ принимает свое наименьшее значение, то есть $-\frac{\pi}{2}$. Это происходит при $x=-1$.
Наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi}{2}$. Оно достигается, когда $\arcsin x$ принимает свое наибольшее значение, то есть $\frac{\pi}{2}$. Это происходит при $x=1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1 - \frac{\pi}{2}$, наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi}{2}$.