Номер 31.1, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.1. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin(x-1)$;

2) $y = \arccos\sqrt{x}$;

3) $y = \arccos\frac{\pi}{x+4}$.

1) $y = \arcsin(x - 1)$

Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(t)$, это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что аргумент функции должен удовлетворять неравенству:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ в отрезке $[0, 2]$.

Ответ: $D(y) = [0, 2]$.

2) $y = \arccos\sqrt{x}$

Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(t)$, также является отрезком $[-1, 1]$. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, мы имеем систему из двух условий:

$\begin{cases} -1 \le \sqrt{x} \le 1 \\ x \ge 0 \end{cases}$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Учитывая это, первое неравенство системы можно упростить:

$0 \le \sqrt{x} \le 1$

Возведем все части этого неравенства в квадрат. Так как все части неотрицательны, знак неравенства не изменится:

$0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$

$0 \le x \le 1$

Это решение удовлетворяет второму условию системы ($x \ge 0$). Следовательно, область определения функции — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $D(y) = [0, 1]$.

3) $y = \arccos\frac{\pi}{x + 4}$

Область определения функции арккосинус — отрезок $[-1, 1]$. Поэтому аргумент функции должен находиться в этих пределах:

$-1 \le \frac{\pi}{x + 4} \le 1$

Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 4 \ne 0$, то есть $x \ne -4$.

Решим двойное неравенство, рассмотрев два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.

Умножим неравенство на положительное число $(x+4)$, сохраняя знаки неравенства:

$-(x+4) \le \pi \le x+4$

Это равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \pi \le x+4 \\ -(x+4) \le \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \pi-4 \\ -x-4 \le \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \pi-4 \\ x \ge -(\pi+4) \end{cases}$

Учитывая условие $x > -4$ и то, что $\pi-4 \approx -0.86 > -4$, а $-(\pi+4) \approx -7.14 < -4$, общим решением для этого случая будет $x \ge \pi-4$.

Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.

Умножим неравенство на отрицательное число $(x+4)$, изменяя знаки неравенства на противоположные:

$-(x+4) \ge \pi \ge x+4$

Это равносильно системе:

$\begin{cases} \pi \ge x+4 \\ -(x+4) \ge \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \pi-4 \\ -x-4 \ge \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \pi-4 \\ x \le -(\pi+4) \end{cases}$

Учитывая условие $x < -4$ и то, что $\pi-4 \approx -0.86$, а $-(\pi+4) \approx -7.14 < -4$, наиболее строгим является неравенство $x \le -(\pi+4)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем область определения функции:

Ответ: $D(y) = (-\infty, -(\pi+4)] \cup [\pi-4, \infty)$.