Номер 31.2, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.2. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$;

2) $y = \arccos \sqrt{3-x}$;

3) $y = \arccos \frac{2}{3x}$.

1) $y = \arcsin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Область определения функции арксинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le x + \frac{\pi}{2} \le 1$

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{\pi}{2} \le x \le 1 - \frac{\pi}{2}$

Таким образом, область определения функции — это отрезок $\left[-1 - \frac{\pi}{2}; 1 - \frac{\pi}{2}\right]$.

Ответ: $D(y) = \left[-1 - \frac{\pi}{2}; 1 - \frac{\pi}{2}\right]$.

2) $y = \arccos\sqrt{3-x}$

Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$. Кроме того, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le \sqrt{3-x} \le 1 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x \le 3$.

Рассмотрим первое двойное неравенство. Так как значение квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{3-x} \ge 0$), левая часть неравенства ($-1 \le \sqrt{3-x}$) выполняется для всех $x$, при которых корень определён. Таким образом, неравенство упрощается до:

$0 \le \sqrt{3-x} \le 1$

Возведём все части этого неравенства в квадрат, так как они неотрицательны:

$0^2 \le (\sqrt{3-x})^2 \le 1^2$

$0 \le 3-x \le 1$

Вычтем 3 из всех частей:

$0 - 3 \le -x \le 1 - 3$

$-3 \le -x \le -2$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$3 \ge x \ge 2$, что равносильно $2 \le x \le 3$.

Полученный отрезок $[2, 3]$ удовлетворяет условию $x \le 3$. Следовательно, это и есть область определения функции.

Ответ: $D(y) = [2; 3]$.

3) $y = \arccos\frac{2}{3x}$

Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$. Значит, аргумент функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le \frac{2}{3x} \le 1$

При этом знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $3x \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{3x} \le 1 \\ \frac{2}{3x} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{2}{3x} - 1 \le 0 \implies \frac{2 - 3x}{3x} \le 0$

Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2}{3x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2 + 3x}{3x} \ge 0$

Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup (0, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств:

$\left((-\infty, 0) \cup [\frac{2}{3}, +\infty)\right) \cap \left((-\infty, -\frac{2}{3}] \cup (0, +\infty)\right)$

Пересечением является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{2}{3}]$ и $[\frac{2}{3}, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.