Номер 30.12, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.12. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x - a)(\operatorname{tg} x + 1) = 0$ на промежутке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $(x-a)(\tg x + 1) = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - a = 0$

2) $\tg x + 1 = 0$

При этом необходимо учесть область определения тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. На заданном промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ это означает, что $x \neq -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, мы ищем решения на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Рассмотрим второе уравнение: $\tg x + 1 = 0$, откуда $\tg x = -1$.

Общее решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдём корень, принадлежащий интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

При $n=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$. Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < 0$, этот корень принадлежит указанному интервалу.

При других целых значениях $n$ корни не попадают в данный интервал. Следовательно, уравнение $\tg x + 1 = 0$ имеет ровно один корень $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ на рассматриваемом промежутке.

Теперь рассмотрим первое уравнение: $x - a = 0$, которое имеет корень $x_2 = a$.

Для того чтобы исходное уравнение имело единственный корень на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, необходимо, чтобы корень $x_2=a$ либо совпадал с уже найденным корнем $x_1 = -\frac{\pi}{4}$, либо не принадлежал этому интервалу.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Корни совпадают.

$x_2 = x_1$, то есть $a = -\frac{\pi}{4}$. В этом случае единственным корнем уравнения на заданном интервале будет $x = -\frac{\pi}{4}$. Значение $a = -\frac{\pi}{4}$ является решением.

Случай 2: Корень $x_2 = a$ не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Это означает, что $a \notin (-\frac{\pi}{2}; 0)$, то есть $a \le -\frac{\pi}{2}$ или $a \ge 0$. При таких значениях $a$ уравнение $x-a=0$ не имеет корней в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, и единственным корнем исходного уравнения на этом интервале остаётся $x_1 = -\frac{\pi}{4}$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень на заданном промежутке.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{\pi}{2}] \cup [0; +\infty) \cup \{-\frac{\pi}{4}\}$.