Номер 30.5, страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.5. Решите уравнение:

1) $\text{tg} \left( 3x - \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3};$

2) $\text{tg}(3 - 2x) = 2;$

3) $\sqrt{3} \text{ctg} \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right) + 3 = 0;$

4) $\text{ctg} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

1) $\tg\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\tg(y) = a$, общее решение которого находится по формуле $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $y = 3x - \frac{\pi}{12}$, а значение $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем известные значения в формулу общего решения:

$3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{3\pi}{12} + \pi n$

Сократим дробь:

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg(3 - 2x) = 2$

Используем ту же общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = 3 - 2x$ и $a = 2$. Поскольку 2 не является стандартным табличным значением, решение будет выражено через арктангенс этого числа.

$3 - 2x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$ из этого уравнения. Сначала изолируем член с $x$:

$-2x = \operatorname{arctg}(2) - 3 + \pi n$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{\operatorname{arctg}(2) - 3 + \pi n}{-2}$

Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы сделать знаменатель положительным:

$x = \frac{3 - \operatorname{arctg}(2) - \pi n}{2}$

Разделим на отдельные слагаемые:

$x = \frac{3 - \operatorname{arctg}(2)}{2} - \frac{\pi n}{2}$

Так как $n$ является любым целым числом ($... -2, -1, 0, 1, 2, ...$), то $-n$ также пробегает все целые числа. Поэтому знак перед периодом можно заменить на плюс, это не изменит множество решений. Оба варианта записи ответа являются верными.

Ответ: $x = \frac{3 - \operatorname{arctg}(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 = 0$

Сначала преобразуем уравнение к виду $\operatorname{ctg}(y) = a$.

Перенесем 3 в правую часть:

$\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = -3$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Общее решение уравнения $\operatorname{ctg}(y) = a$ имеет вид $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 5x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -\sqrt{3}$.

Находим значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$5x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решаем уравнение относительно $x$:

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{3\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения уравнений с котангенсом: $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Изолируем член с $x$:

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 12:

$-\frac{x}{3} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на -3:

$x = -3 \left(\frac{\pi}{12} + \pi n\right)$

$x = -\frac{3\pi}{12} - 3\pi n$

Сократим дробь:

$x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi n$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.