Номер 30.2, страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.2. Решите уравнение:

1) $tg x = 1;$

2) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3};$

3) $tg x = -\sqrt{3};$

4) $ctg x = \sqrt{3};$

5) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $tg x = 0.$

1) tg x = 1;

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 1$.

Находим значение арктангенса: $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу и получаем решение:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Используем общую формулу решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) tg x = $-\sqrt{3}$;

Общее решение уравнения $tg x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\sqrt{3}$.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, получаем решение:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) ctg x = $\sqrt{3}$;

Общее решение для уравнения вида $ctg x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \sqrt{3}$.

Находим значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

5) ctg x = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Используем общую формулу $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используем свойство $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$:

$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) tg x = 0.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, а косинус не равен нулю.

Уравнение $tg x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$.

Решением уравнения $\sin x = 0$ является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Также можно применить общую формулу: $x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.