Номер 30.3, страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.3. Решите уравнение:

1) $\text{tg}\left(-\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3};$

2) $\text{ctg}\frac{x}{2} = 0;$

3) $\text{ctg}\, 6x = \frac{6}{11}.$

1)

Решим уравнение $tg(-\frac{7x}{4}) = \sqrt{3}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции тангенса: $\text{tg}(-a) = -\text{tg}(a)$.

$-\text{tg}(\frac{7x}{4}) = \sqrt{3}$

Умножим обе части на -1:

$\text{tg}(\frac{7x}{4}) = -\sqrt{3}$

Общее решение уравнения $\text{tg}(y) = b$ дается формулой $y = \text{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = \frac{7x}{4}$ и $b = -\sqrt{3}$.

$\frac{7x}{4} = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$

Поскольку $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{7x}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим $x$. Умножим обе части уравнения на 4:

$7x = -\frac{4\pi}{3} + 4\pi n$

И разделим обе части на 7:

$x = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим уравнение $\text{ctg}\frac{x}{2} = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\text{ctg}(y) = 0$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = \frac{x}{2}$. Подставляя в общую формулу, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2(\frac{\pi}{2} + \pi n)$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Решим уравнение $\text{ctg} 6x = \frac{6}{11}$.

Общее решение уравнения $\text{ctg}(y) = a$ записывается как $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $y = 6x$ и $a = \frac{6}{11}$.

Подставим эти значения в общую формулу:

$6x = \text{arcctg}(\frac{6}{11}) + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{1}{6}\text{arcctg}(\frac{6}{11}) + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{6}\text{arcctg}(\frac{6}{11}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.