Вопросы?, страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях $b$ имеет корни уравнение $\operatorname{tg} x = b; \operatorname{ctg} x = b$?

2. Сколько корней имеет уравнение $\operatorname{tg} x = b; \operatorname{ctg} x = b$?

3. Что называют арктангенсом числа $b$; арккотангенсом числа $b$?

4. Какой вид имеет формула корней уравнения $\operatorname{tg} x = b; \operatorname{ctg} x = b$?

1. При каких значениях b имеет корни уравнение tg x = b; ctg x = b?

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$ имеют корни при любых действительных значениях $b$. Это следует из того, что область значений тригонометрических функций тангенса и котангенса — это множество всех действительных чисел.
Для функции $y = tg x$ область значений $E(tg) = (-\infty; +\infty)$.
Для функции $y = ctg x$ область значений $E(ctg) = (-\infty; +\infty)$.
Таким образом, какую бы горизонтальную прямую $y=b$ мы ни провели на графике, она всегда пересечет графики функций $y = tg x$ и $y = ctg x$.
Ответ: уравнения имеют корни при любом действительном значении $b$, то есть $b \in \mathbb{R}$.

2. Сколько корней имеет уравнение tg x = b; ctg x = b?

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$ имеют бесконечное множество корней для любого действительного числа $b$. Это связано с периодичностью функций тангенса и котангенса.
Наименьший положительный период для обеих функций ($tg x$ и $ctg x$) равен $\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением уравнения (например, $tg x_0 = b$), то все числа вида $x_0 + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), также будут решениями. Поскольку множество целых чисел бесконечно, то и количество корней у каждого из уравнений бесконечно.
Ответ: бесконечно много корней.

3. Что называют арктангенсом числа b; арккотангенсом числа b?

Арктангенсом числа $b$ (обозначается $arctg\;b$) называют такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$. Таким образом, равенство $arctg\;b = \alpha$ означает, что выполняются два условия:
1) $tg\;\alpha = b$
2) $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Арккотангенсом числа $b$ (обозначается $arcctg\;b$) называют такое число $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$. Таким образом, равенство $arcctg\;b = \alpha$ означает, что выполняются два условия:
1) $ctg\;\alpha = b$
2) $0 < \alpha < \pi$
Ответ: Арктангенс числа $b$ — это угол в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$. Арккотангенс числа $b$ — это угол в интервале $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$.

4. Какой вид имеет формула корней уравнения tg x = b; ctg x = b?

Формулы для нахождения всех корней (решений) тригонометрических уравнений $tg x = b$ и $ctg x = b$ используют понятия арктангенса и арккотангенса, а также учитывают периодичность этих функций.

Для уравнения $tg x = b$:
Один из корней уравнения — это $x = arctg\;b$. Так как период тангенса равен $\pi$, то все остальные корни получаются прибавлением к этому значению целого числа периодов. Формула для всех корней имеет вид:
$x = arctg\;b + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Для уравнения $ctg x = b$:
Один из корней уравнения — это $x = arcctg\;b$. Так как период котангенса также равен $\pi$, то формула для всех корней имеет аналогичный вид:
$x = arcctg\;b + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
Ответ: для $tg x = b$ формула корней: $x = arctg\;b + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; для $ctg x = b$ формула корней: $x = arcctg\;b + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.