Номер 30.1, страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.1. Решите уравнение:

1) $tg x = \sqrt{3}$;

2) $tg x = -1$;

3) $tg x = 5$;

4) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

5) $ctg x = -\sqrt{3}$;

6) $ctg x = 0$.

1) tg $x = \sqrt{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида tg $x = a$ записывается по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Значение арктангенса для $\sqrt{3}$ является табличным: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg $x = -1$

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -1$. Для нахождения значения арктангенса отрицательного числа используем свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.

$\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Табличное значение $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) tg $x = 5$

Применяем общую формулу для тангенса: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = 5$. Число 5 не является табличным значением для тангенса, поэтому решение записывается через арктангенс.

$x = \text{arctg}(5) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) ctg $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение для уравнения вида ctg $x = a$ записывается по формуле $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это табличное значение для котангенса.

$\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) ctg $x = -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для котангенса: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\sqrt{3}$. Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используем свойство: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

$\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3})$.

Табличное значение $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) ctg $x = 0$

Это частный случай уравнения с котангенсом. Воспользуемся общей формулой: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $a = 0$ имеем $x = \text{arcctg}(0) + \pi n$.

Значение $\text{arcctg}(0)$ равно $\frac{\pi}{2}$, так как котангенс равен нулю, когда косинус равен нулю, а синус не равен нулю, что соответствует углам $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ и т.д.

Подставляем значение в формулу:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.