Номер 29.15, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.15. Определите количество корней уравнения $ \sin x = a $ в зависимости от значения параметра $ a $ на промежутке:

1) $ \left[0; \frac{11\pi}{6}\right]; $

2) $ \left(\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right]; $

3) $ \left[-\frac{\pi}{3}; 2\pi\right]. $

Для решения задачи необходимо проанализировать график функции $y = \sin(x)$ на каждом из заданных промежутков и определить, сколько раз горизонтальная прямая $y = a$ пересекает этот график в зависимости от значения параметра $a$.

1) Промежуток $[0; \frac{11\pi}{6}]$

На этом отрезке функция $y=\sin(x)$ начинает со значения $\sin(0) = 0$, возрастает до максимума $1$ в точке $x=\frac{\pi}{2}$, затем убывает до минимума $-1$ в точке $x=\frac{3\pi}{2}$ и возрастает до значения $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ в конце отрезка.

• Если $|a| > 1$, уравнение не имеет корней, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
• Если $a = 1$, есть один корень $x = \frac{\pi}{2}$.
• Если $a \in [0, 1)$, прямая $y=a$ пересекает график дважды на интервале $(0, \pi)$. Оба корня принадлежат заданному промежутку. Следовательно, 2 корня.
• Если $a \in (-\frac{1}{2}, 0)$, есть один корень на интервале $(\pi, 2\pi)$. Конкретно, на $(\pi, \frac{7\pi}{6})$. Второй корень из этой серии $2\pi - \arcsin|a|$ будет больше $\frac{11\pi}{6}$, поэтому он не входит в промежуток. Следовательно, 1 корень.
• Если $a = -\frac{1}{2}$, есть два корня: $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Оба принадлежат отрезку. Следовательно, 2 корня.
• Если $a \in (-1, -\frac{1}{2})$, есть два корня на интервале $(\pi, 2\pi)$, и оба они меньше $\frac{11\pi}{6}$. Следовательно, 2 корня.
• Если $a = -1$, есть один корень $x = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ:
- нет корней, если $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$;
- 1 корень, если $a \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup \{-1, 1\}$;
- 2 корня, если $a \in (-1, -\frac{1}{2}] \cup [0, 1)$.

2) Промежуток $(\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$

На этом промежутке функция $y=\sin(x)$ начинается от значения $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (не включая эту точку), достигает максимума $1$ при $x=\frac{\pi}{2}$, убывает до минимума $-1$ при $x=\frac{3\pi}{2}$ и возрастает до $\sin(\frac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (включая эту точку).

• Если $|a| > 1$, корней нет.
• Если $a=1$, есть один корень $x=\frac{\pi}{2}$.
• Если $a \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, есть два корня, симметричные относительно $x=\frac{\pi}{2}$.
• Если $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть один корень $x=\frac{3\pi}{4}$, так как корень $x=\frac{\pi}{4}$ не входит в промежуток.
• Если $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, есть один корень на участке $(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$.
• Если $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть два корня: $x=\frac{5\pi}{4}$ и $x=\frac{7\pi}{4}$.
• Если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, есть два корня, симметричные относительно $x=\frac{3\pi}{2}$.
• Если $a = -1$, есть один корень $x=\frac{3\pi}{2}$.

Ответ:
- нет корней, если $|a|>1$;
- 1 корень, если $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup \{-1, 1\}$;
- 2 корня, если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$.

3) Промежуток $[-\frac{\pi}{3}; 2\pi]$

На этом отрезке, длина которого больше $2\pi$, функция $y=\sin(x)$ начинается со значения $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, проходит через полный цикл от $0$ до $2\pi$ и заканчивается в точке $x=2\pi$ со значением $\sin(2\pi)=0$.

• Если $|a| > 1$, корней нет.
• Если $a = 1$, есть один корень $x=\frac{\pi}{2}$.
• Если $a \in (0, 1)$, есть два корня на интервале $(0, \pi)$.
• Если $a = 0$, есть три корня: $x=0, \pi, 2\pi$.
• Если $a \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, есть три корня: один на $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, и два на $(\pi, 2\pi)$.
• Если $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, есть три корня: $x=-\frac{\pi}{3}$, $x=\frac{4\pi}{3}$ и $x=\frac{5\pi}{3}$.
• Если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, есть два корня на интервале $(\pi, 2\pi)$.
• Если $a = -1$, есть один корень $x=\frac{3\pi}{2}$.

Ответ:
- нет корней, если $|a|>1$;
- 1 корень, если $a=1$ или $a=-1$;
- 2 корня, если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (0, 1)$;
- 3 корня, если $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0]$.