Номер 29.12, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.12. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\cos (\pi \sin x) = 0$.

1)

Дано уравнение $ \sin\left(\frac{3\pi}{\sqrt{x}}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, $ x > 0 $.

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ y = \frac{3\pi}{\sqrt{x}} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $, получаем:

$ \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k $

$ \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k $

Разделим обе части уравнения на $ \pi $:

$ \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{(-1)^{k+1}}{3} + k $

Так как по ОДЗ $ x > 0 $, то $ \sqrt{x} > 0 $, и левая часть уравнения $ \frac{3}{\sqrt{x}} $ всегда положительна. Следовательно, правая часть также должна быть положительной:

$ k + \frac{(-1)^{k+1}}{3} > 0 $

Проанализируем это неравенство для целых $ k $. Если $ k \le 0 $, неравенство не выполняется (например, при $ k=0 $ получаем $ -\frac{1}{3} < 0 $). Если $ k \ge 1 $, то минимальное значение левой части достигается при $ k=2 $ и равно $ 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} > 0 $. Значит, неравенство выполняется для всех натуральных $ k $, т.е. $ k \in \mathbb{N} $.

Теперь выразим $ x $. Преобразуем правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{3k + (-1)^{k+1}}{3} $

Отсюда находим $ \sqrt{x} $:

$ \sqrt{x} = \frac{9}{3k + (-1)^{k+1}} $

Возводя обе части в квадрат, получаем решение для $ x $:

$ x = \left(\frac{9}{3k + (-1)^{k+1}}\right)^2 = \frac{81}{(3k + (-1)^{k+1})^2} $

Ответ: $ x = \frac{81}{(3k + (-1)^{k+1})^2}, k \in \mathbb{N} $

2)

Дано уравнение $ \cos(\pi \sin x) = 0 $.

Общее решение уравнения $ \cos(y) = 0 $ имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \pi \sin x $, следовательно:

$ \pi \sin x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

Разделим обе части на $ \pi $:

$ \sin x = \frac{1}{2} + n $

Область значений функции синус ограничена: $ -1 \le \sin x \le 1 $. Таким образом, выражение $ \frac{1}{2} + n $ должно находиться в этих пределах:

$ -1 \le \frac{1}{2} + n \le 1 $

Решим это двойное неравенство относительно $ n $:

$ -1 - \frac{1}{2} \le n \le 1 - \frac{1}{2} $

$ -\frac{3}{2} \le n \le \frac{1}{2} $

Поскольку $ n $ должно быть целым числом ($ n \in \mathbb{Z} $), возможны только два значения: $ n = -1 $ и $ n = 0 $.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $ n = 0 $.

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Решениями этого уравнения являются $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ n = -1 $.

$ \sin x = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $

Решениями этого уравнения являются $ x = (-1)^m \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi m = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Объединяя все найденные серии решений, мы получаем четыре точки на единичной окружности: $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $), и $ \frac{7\pi}{6} $. Эти серии можно представить в более компактной форме:

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $