Номер 29.5, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.5. Решите уравнение:

1) $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\sin\left(\frac{x}{3} + 1\right) = -1;$

3) $\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) - 1 = 0.$

1) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin(t) = a $. Общее решение для него: $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае аргумент $ t = x - \frac{\pi}{6} $ и значение $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим арксинус: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем значения в общую формулу решения:

$ x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $

Чтобы найти $ x $, переносим $ -\frac{\pi}{6} $ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin\left(\frac{x}{3} + 1\right) = -1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $ \sin(t) = -1 $ имеет вид $ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном уравнении аргумент $ t = \frac{x}{3} + 1 $.

Приравниваем аргумент синуса к общему решению:

$ \frac{x}{3} + 1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $ x $.

Вычитаем 1 из обеих частей:

$ \frac{x}{3} = -1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Умножаем обе части уравнения на 3:

$ x = 3\left(-1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) $

$ x = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) - 1 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус.

Переносим -1 в правую часть:

$ \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) = 1 $

Делим обе части на $ \sqrt{2} $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Рационализируем знаменатель дроби:

$ \sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для удобства воспользуемся свойством нечетности синуса: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ \sin\left(-\left(3x - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ -\sin\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Умножим обе части на -1:

$ \sin\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Применяем общую формулу решения $ \sin(t) = a $, то есть $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.

Здесь $ t = 3x - \frac{\pi}{12} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим арксинус: $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем значения:

$ 3x - \frac{\pi}{12} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n $

$ 3x - \frac{\pi}{12} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n $

Выражаем $ 3x $:

$ 3x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n $

Делим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{36} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{36} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $.