Страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.1. Решите уравнение:

1) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \sin x = \frac{1}{4} $;

4) $ \sin x = \sqrt{2} $.

1) Дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение.
Найдем арксинус: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Подставим это значение в общую формулу:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем ту же общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем свойство арксинуса: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в общую формулу:
$x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k$
Это можно записать как $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin x = \frac{1}{4}$.
Так как значение $|a| = \left|\frac{1}{4}\right| \le 1$, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{4}$. Это значение не является табличным, поэтому решение записывается через арксинус.
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\sin x = \sqrt{2}$.
Область значений функции $y = \sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Значение $\sqrt{2} \approx 1,414$.
Так как $\sqrt{2} > 1$, то значение $\sqrt{2}$ не входит в область значений функции синуса. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

29.2. Решите уравнение:

1) $ \sin x = \frac{1}{2} $;

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} $;

4) $ \sin x = 1,5 $.

1) Дано уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Общая формула для решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу для решения $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Для нахождения арксинуса воспользуемся свойством нечетности этой функции: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$, что можно записать как $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Решение ищем по общей формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $a = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Уравнение имеет решение, так как значение $a$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Проверим это: $2^2=4$ и $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{5} < 3$. Разделив все части неравенства на $3$, получим $\frac{2}{3} < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Так как $0 < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1$, условие $|a| \le 1$ выполняется.

Поскольку значение $\frac{\sqrt{5}}{3}$ не является табличным для синуса, решение записывается через функцию арксинус:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\sin x = 1,5$.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.

В данном уравнении значение синуса равно $1,5$, а $1,5 > 1$. Так как это значение выходит за пределы области значений функции синус, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

29.3. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{x}{6} = -\frac{1}{2};$

2) $\sin 5x = 1;$

3) $\sin (-8x) = \frac{2}{9}.$

1) Решим уравнение $ \sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Общее решение для такого уравнения записывается в виде $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном уравнении $ t = \frac{x}{6} $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставим эти значения в формулу общего решения:

$ \frac{x}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n $

Упростим выражение:

$ \frac{x}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

Теперь выразим $ x $, умножив обе части уравнения на 6:

$ x = 6 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n \right) $

$ x = (-1)^{n+1} \pi + 6\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sin 5x = 1 $.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $ \sin t = 1 $ имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 5x $.

Приравниваем аргумент синуса к общему решению для данного частного случая:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 5:

$ x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \sin(-8x) = \frac{2}{9} $.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

Применив это свойство, получим:

$ -\sin(8x) = \frac{2}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ \sin(8x) = -\frac{2}{9} $

Это уравнение вида $ \sin t = a $, общее решение которого $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ t = 8x $ и $ a = -\frac{2}{9} $.

Подставим эти значения в формулу:

$ 8x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{2}{9}\right) + \pi n $

Используем свойство арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $:

$ 8x = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{2}{9}\right) + \pi n $

$ 8x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{2}{9} + \pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 8:

$ x = \frac{(-1)^{n+1} \arcsin\frac{2}{9} + \pi n}{8} $

$ x = \frac{(-1)^{n+1}}{8} \arcsin\frac{2}{9} + \frac{\pi n}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^{n+1}}{8} \arcsin\frac{2}{9} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

29.4. Решите уравнение:

1) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\sin \frac{x}{7} = 0$;

3) $\sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Решим уравнение $ \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Его общее решение записывается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ t = 2x $ и $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Значение арксинуса: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Подставляем значения в общую формулу:
$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$ x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \right) $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sin \frac{x}{7} = 0 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен целому числу, умноженному на $ \pi $.
Формула решения для $ \sin t = 0 $ имеет вид $ t = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = \frac{x}{7} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{7} = \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:
$ x = 7\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = 7\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Снова используем общую формулу для решения уравнения $ \sin t = a $: $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Здесь $ t = \frac{2x}{5} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдём значение арксинуса, используя свойство нечетности этой функции ($ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $):
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.
Подставляем значения в формулу:
$ \frac{2x}{5} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Выражение можно упростить, внеся минус в степень $ (-1) $:
$ \frac{2x}{5} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь выразим $x$. Сначала умножим обе части на 5:
$ 2x = 5 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{3} + 5\pi n $.
Затем разделим обе части на 2:
$ x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{3} + 5\pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

29.5. Решите уравнение:

1) $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\sin\left(\frac{x}{3} + 1\right) = -1;$

3) $\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) - 1 = 0.$

1) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin(t) = a $. Общее решение для него: $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае аргумент $ t = x - \frac{\pi}{6} $ и значение $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим арксинус: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем значения в общую формулу решения:

$ x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $

Чтобы найти $ x $, переносим $ -\frac{\pi}{6} $ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin\left(\frac{x}{3} + 1\right) = -1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $ \sin(t) = -1 $ имеет вид $ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном уравнении аргумент $ t = \frac{x}{3} + 1 $.

Приравниваем аргумент синуса к общему решению:

$ \frac{x}{3} + 1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $ x $.

Вычитаем 1 из обеих частей:

$ \frac{x}{3} = -1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Умножаем обе части уравнения на 3:

$ x = 3\left(-1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) $

$ x = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -3 - \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) - 1 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус.

Переносим -1 в правую часть:

$ \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) = 1 $

Делим обе части на $ \sqrt{2} $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Рационализируем знаменатель дроби:

$ \sin\left(\frac{\pi}{12} - 3x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для удобства воспользуемся свойством нечетности синуса: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ \sin\left(-\left(3x - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ -\sin\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Умножим обе части на -1:

$ \sin\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Применяем общую формулу решения $ \sin(t) = a $, то есть $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.

Здесь $ t = 3x - \frac{\pi}{12} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим арксинус: $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем значения:

$ 3x - \frac{\pi}{12} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n $

$ 3x - \frac{\pi}{12} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n $

Выражаем $ 3x $:

$ 3x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n $

Делим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{36} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{36} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

29.6. Решите уравнение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{18} - 8x\right) = 1;$

2) $2\sin\left(\frac{x}{5} - 4\right) + 1 = 0.$

1) $\sin(\frac{\pi}{18} - 8x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения $\sin(t) = 1$. Его решение имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

В данном уравнении аргумент синуса $t = \frac{\pi}{18} - 8x$. Приравняем аргумент к общему решению:

$\frac{\pi}{18} - 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим $-8x$:

$-8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$-8x = \frac{9\pi}{18} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k$

$-8x = \frac{8\pi}{18} + 2\pi k$

Сократим дробь $\frac{8\pi}{18}$ на 2:

$-8x = \frac{4\pi}{9} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -8:

$x = -\frac{1}{8} \left( \frac{4\pi}{9} + 2\pi k \right)$

$x = -\frac{4\pi}{8 \cdot 9} - \frac{2\pi k}{8}$

$x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin(\frac{x}{5} - 4) + 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус:

$2\sin(\frac{x}{5} - 4) = -1$

$\sin(\frac{x}{5} - 4) = -\frac{1}{2}$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{5} - 4$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Найдём значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в общую формулу решения:

$\frac{x}{5} - 4 = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$

Используя свойство степеней $(-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1}$, упростим выражение:

$\frac{x}{5} - 4 = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем -4 в правую часть:

$\frac{x}{5} = 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = 5 \left( 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \right)$

$x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k$

Ответ: $x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

29.7. Найдите все корни уравнения $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$, принадлежащие промежутку $\left[-\pi ; \frac{3 \pi}{2}\right]$.

Решим данное тригонометрическое уравнение. Сначала найдем общее решение.

$\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Аргумент синуса $x - \frac{\pi}{3}$ должен быть равен одному из значений, для которых синус равен $\frac{1}{2}$. Это происходит в двух случаях:

1. $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2. $x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выразим $x$ из каждого уравнения:

1. $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. $x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Мы получили две серии решений. Теперь необходимо выбрать те корни, которые принадлежат промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Рассмотрим первую серию корней: $x_k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Подберем такие целые значения $k$, чтобы $x_k$ попал в заданный промежуток:

$-\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:

$-1 - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2} \le 2k \le 1$

Разделим на 2:

$-\frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{2}$

Единственное целое число в этом интервале — это $k=0$. При $k=0$ корень равен $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит заданному промежутку.

Рассмотрим вторую серию корней: $x_k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Подберем такие целые значения $k$, чтобы $x_k$ попал в заданный промежуток:

$-\pi \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le \frac{7}{6} + 2k \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{7}{6}$ из всех частей:

$-1 - \frac{7}{6} \le 2k \le \frac{3}{2} - \frac{7}{6}$

$-\frac{6+7}{6} \le 2k \le \frac{9-7}{6}$

$-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{2}{6}$

$-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{1}{3}$

Разделим на 2:

$-\frac{13}{12} \le k \le \frac{1}{6}$

Целые числа в этом интервале — это $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1$ корень равен $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень принадлежит заданному промежутку.

При $k=0$ корень равен $x = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень также принадлежит заданному промежутку, так как $\frac{7\pi}{6} = 1\frac{1}{6}\pi$, а $\frac{3\pi}{2} = 1\frac{1}{2}\pi$.

Итак, мы нашли три корня, принадлежащие промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}$.

29.8. Сколько корней уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Чтобы найти количество корней уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $t = 3x$. Тогда нам нужно найти количество решений уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на соответствующем промежутке для $t$.
Найдем этот промежуток. Так как $x \in [-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то, умножив все части двойного неравенства на 3, получим:
$3 \cdot (-\frac{3\pi}{2}) \le 3x \le 3 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\frac{9\pi}{2} \le t \le \frac{3\pi}{2}$
Таким образом, задача сводится к нахождению количества корней уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\frac{9\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Решения уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ задаются двумя сериями:
1) $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем, сколько корней из каждой серии попадает в промежуток $[-\frac{9\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Для первой серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} \le \frac{1}{4} + 2k \le \frac{3}{2}$
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-\frac{18}{4} - \frac{1}{4} \le 2k \le \frac{6}{4} - \frac{1}{4}$
$-\frac{19}{4} \le 2k \le \frac{5}{4}$
Разделим на 2:
$-\frac{19}{8} \le k \le \frac{5}{8}$
$-2.375 \le k \le 0.625$
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -2, -1, 0$. Следовательно, из этой серии в промежуток попадают 3 корня.

Для второй серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{3}{2}$
Вычтем $\frac{3}{4}$ из всех частей:
$-\frac{18}{4} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{6}{4} - \frac{3}{4}$
$-\frac{21}{4} \le 2k \le \frac{3}{4}$
Разделим на 2:
$-\frac{21}{8} \le k \le \frac{3}{8}$
$-2.625 \le k \le 0.375$
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -2, -1, 0$. Следовательно, из этой серии в промежуток также попадают 3 корня.

Каждому найденному значению $t$ соответствует единственное значение $x = t/3$, поэтому общее количество корней исходного уравнения на заданном промежутке равно сумме найденных корней для $t$.
Всего корней: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6

29.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$;

2) $\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = 1$;

3) $3 \sin \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 3$.

1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a = \sqrt{3}$, $b = 1$, $c = 2$.
Для его решения разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Получим:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{2}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 1$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = 1$

Левая часть уравнения является формулой синуса суммы: $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.
Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого:
$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = 1$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$, $c = 1$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.
Получим:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{1}{2}$

Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $\sin(x-\alpha) = \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha$.
Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это решение можно также представить в виде двух серий:
При четных $k=2n$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi+2\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$.
При нечетных $k=2n+1$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi-2\pi}{12} + 2\pi n + \pi = \frac{\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3 \sin \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 3$

Это уравнение вида $a \sin y + b \cos y = c$, где $y = \frac{x}{2}$, $a = 3$, $b = \sqrt{3}$, $c = 3$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Получим:

$\frac{3}{2\sqrt{3}} \sin \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим коэффициенты:
$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
Уравнение примет вид:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin \frac{x}{2} + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя формулу синуса суммы, получим:

$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения можно записать в виде совокупности двух серий:
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим каждую серию отдельно:

1) $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = 2(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

2) $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = 2(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi + 4\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n, x = \pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.