Номер 29.7, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.7. Найдите все корни уравнения $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$, принадлежащие промежутку $\left[-\pi ; \frac{3 \pi}{2}\right]$.

Решим данное тригонометрическое уравнение. Сначала найдем общее решение.

$\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Аргумент синуса $x - \frac{\pi}{3}$ должен быть равен одному из значений, для которых синус равен $\frac{1}{2}$. Это происходит в двух случаях:

1. $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2. $x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выразим $x$ из каждого уравнения:

1. $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. $x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Мы получили две серии решений. Теперь необходимо выбрать те корни, которые принадлежат промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Рассмотрим первую серию корней: $x_k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Подберем такие целые значения $k$, чтобы $x_k$ попал в заданный промежуток:

$-\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:

$-1 - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2} \le 2k \le 1$

Разделим на 2:

$-\frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{2}$

Единственное целое число в этом интервале — это $k=0$. При $k=0$ корень равен $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит заданному промежутку.

Рассмотрим вторую серию корней: $x_k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Подберем такие целые значения $k$, чтобы $x_k$ попал в заданный промежуток:

$-\pi \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le \frac{7}{6} + 2k \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{7}{6}$ из всех частей:

$-1 - \frac{7}{6} \le 2k \le \frac{3}{2} - \frac{7}{6}$

$-\frac{6+7}{6} \le 2k \le \frac{9-7}{6}$

$-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{2}{6}$

$-\frac{13}{6} \le 2k \le \frac{1}{3}$

Разделим на 2:

$-\frac{13}{12} \le k \le \frac{1}{6}$

Целые числа в этом интервале — это $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1$ корень равен $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень принадлежит заданному промежутку.

При $k=0$ корень равен $x = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень также принадлежит заданному промежутку, так как $\frac{7\pi}{6} = 1\frac{1}{6}\pi$, а $\frac{3\pi}{2} = 1\frac{1}{2}\pi$.

Итак, мы нашли три корня, принадлежащие промежутку $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}$.