Номер 29.2, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.2. Решите уравнение:

1) $ \sin x = \frac{1}{2} $;

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} $;

4) $ \sin x = 1,5 $.

1) Дано уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Общая формула для решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу для решения $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Для нахождения арксинуса воспользуемся свойством нечетности этой функции: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$, что можно записать как $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Решение ищем по общей формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $a = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Уравнение имеет решение, так как значение $a$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Проверим это: $2^2=4$ и $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{5} < 3$. Разделив все части неравенства на $3$, получим $\frac{2}{3} < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Так как $0 < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1$, условие $|a| \le 1$ выполняется.

Поскольку значение $\frac{\sqrt{5}}{3}$ не является табличным для синуса, решение записывается через функцию арксинус:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\sin x = 1,5$.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.

В данном уравнении значение синуса равно $1,5$, а $1,5 > 1$. Так как это значение выходит за пределы области значений функции синус, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.