Номер 28.15, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.15. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{11\pi}{6}\right]$ в зависимости от значения параметра $a$.

Для определения количества корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left(-\frac{\pi}{4}; \frac{11\pi}{6}\right] $ необходимо исследовать, сколько раз горизонтальная прямая $ y = a $ пересекает график функции $ y = \cos x $ на данном промежутке.

Проанализируем поведение функции $ y = \cos x $ на указанном промежутке.
Найдем значения функции на концах промежутка:
- В левой граничной точке (не включена): $ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- В правой граничной точке (включена): $ \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
На данном промежутке функция достигает своего максимума $1$ в точке $ x = 0 $ и минимума $-1$ в точке $ x = \pi $.

Рассмотрим все возможные значения параметра $a$ и определим для каждого случая число корней.

При $ a > 1 $ или $ a < -1 $, уравнение не имеет решений, так как множество значений функции $ \cos x $ — это отрезок $ [-1; 1] $.

При $ a = 1 $, уравнение имеет один корень $ x = 0 $, который принадлежит заданному промежутку.

При $ a = -1 $, уравнение имеет один корень $ x = \pi $, который принадлежит заданному промежутку.

При $ a \in \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right) $, прямая $ y = a $ пересекает график функции дважды: один раз на интервале $ \left(-\frac{\pi}{4}; 0\right) $ и один раз на интервале $ \left(0; \frac{\pi}{6}\right) $.

При $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $, уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет на заданном промежутке три корня: $ x = -\frac{\pi}{6} $, $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{11\pi}{6} $.

При $ a \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $, прямая $ y = a $ пересекает график трижды.

При $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $, уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет на заданном промежутке два корня: $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = \frac{7\pi}{4} $. Корень $ x = -\frac{\pi}{4} $ не входит в промежуток.

При $ a \in \left(-1; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $, прямая $ y = a $ пересекает график дважды.

Объединив полученные результаты, получим окончательный ответ.

Ответ:
при $ a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty) $ корней нет;
при $ a = -1 $ или $ a = 1 $ — один корень;
при $ a \in \left(-1; \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right) $ — два корня;
при $ a \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right] $ — три корня.